Die gleichförmige Kreisbewegung

Die gleichförmige Kreisbewegung

Abschnitt 1:
Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Punkt "P" in der

X - Y - Ebene mit konstanter Bahngeschwindigkeit "v".
Gleichförmig bedeutet, dass sich zwar der Betrag |v| der Geschwindigkeit nicht ändert, wohl aber seine Richtung. Ein Körper führt eine gleichförmige Kreisbewegung aus, wenn die Bahnkurve ein Kreis ist und der Betrag des Geschwindigkeitsvektors konstant ist.
Die Lage des Punktes "P" in der X - Y - Ebene ändert sich mit der Zeit "t". Dies kann man mit dem zu "P" zugehörigen Ortsvektor "r(t)" beschreiben.
Spaltet man "r(t)" in seine Komponenten, so ergibt sich folgendes:

r_x(t)= r * cos(ωt) * e_x und
r_y(t)= r * sin(ωt) * e_y

"e_x" und "e_y" haben jeweils die Länge 1 und stehen aufeinander orthogonal, daher heißen sie Einheitsnormalenvektoren. Omega ist die Kreisfrequenz, sie ist eine Konstante 1/Zeit.
Die oben genannten Gleichungen sind Parametergleichungen, eines Kreises mit dem Parameter "t". Dass diese beiden Gleichungen zusammen wirklich eine Kreisbahn beschreiben, sieht man, wenn man beide Gleichungen quadriert und anschließend addiert.


r_x²(t)= r²* cos²(ωt) und
r_y²(t)= r²* sin²(ωt)

r_x²+ r_y²= r²(sin²(ωt) + cos²(ωt))
= 1

Die letzte Gleichung ist die Gleichung eines Kreises um den Koordinatenursprung mit Radius "r".

Wenn der Punkt "P" in der Zeit "t" die Kreisbahn n - mal durchläuft, sagt man er bewegt sich mit der Frequenz "f".

f = n/t

Die Einheit der Frequenz heißt Hertz (Hz)

Die Zeit die "P" für einen Umlauf benötigt heißt Umlaufdauer "T". Es gilt n = 1; darauf folgt:
t = 1/T
Die Komponenten der Bahngeschwindigkeit können in X - und in Y - Richtung getrennt berechnet werden, es gilt:

v_x(t) = r_x(t) = - r * ω * sin( ωt ) *e_x
v_y(t) = r_y(t) = - r * ω * cos( ωt ) *e_y

Die beiden oberen Gleichungen ergeben zusammen den Geschwindigkeitsvektor.

v(t) = v_x(t) + v_y(t) = - r * ω * sin(ωt)* e_x + r * ω cos(ωt) * e_y

Dies ist der Geschwindigkeitsvektor aus Gründen des Komforts verwenden wir aber nur den Betrag von "v".

Den Betrag der Bahngeschwindigkeit erhält man wieder durch Quadrieren und Addieren der beiden Gleichungen.




Unter weiterer Verarbeitung der Gleichung folgt die endgültige Formel:



"u" ist hier der Umfang der Kreisbahn. Diese Gleichung lässt sich für jeden Kreisbogenabschnitt Δs, der in der Zeit Δt durchlaufen wird verallgemeinern.
Bedeutet:



Da "r" immer in radiale Richtung zeigt, muss "v" immer in tangentielle Richtung zeigen, daraus folgt:
Der Geschwindigkeitsvektor "v" ist immer tangential zur Bahnkurve gerichtet.

Abschnitt 2:
Die Zentripetalbeschleunigung

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ändert sich dauernd der Bahngeschwindigkeitsvektor. Zwar ändert sich nicht sein Betrag, aber laufend seine Richtung. Die Größe, die die Änderung der Geschwindigkeit beschreibt, heißt Beschleunigung. Die Beschleunigung, die bei der gleichförmigen Kreisbewegung andauernd eine Richtungsänderung der Bahngeschwindigkeit bewirkt, heißt Zentripetalbeschleunigung a.
So wie man die Bahngeschwindigkeit abgeleitet hat, wird auch bei der Zentripetalbeschleunigung verfahren. Die Komponenten werden nach der Zeit abgeleitet:



Den Betrag der Zentripetalbeschleunigung a_z erhält man wieder, indem die Komponenten quadriert und addiert werden.
Die endgültige Gleichung der Zentripetalbeschleunigung lautet dann:


Die gleichförmige Bewegung ist eine beschleunigte Bewegung. In jedem Punkt der Kreisbewegung zeigt die Zentripetalbeschleunigung zum Kreismittelpunkt.
Abschnitt 3:
Die Zentripetalkraft

Wenn ein Körper beschleunigt wird, wirkt auf ihn eine beschleunigte Kraft.
Es gilt:
F_z ist die Zentripetalkraft
a_z ist die Zentripetalbeschleunigung

Die Zentripetalkraft hat die selbe Richtung, wie die Zentripetalbeschleunigung, nämlich immer genau zum Kreismittelpunkt.

Der Betrag der Zentripetalkraft lautet:

F_z = m ω²* r oder:



Ein Körper der Masse "m" mit einer Geschwindigkeit vom Betrag "v" wird von der Zentripetalkraft F_z auf eine Kreisbahn mit dem Radius "r" gezwungen.

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