Harmonische Schwingungen

HARMONISCHE SCHWINGUNGEN

Begriffe für Schwingungen:
Die Elongation γ ist die momentane Auslenkung.
Die Amplitude r ist die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage (r>0).
Die Schwingungsdauer T ist die Zeit, die der Körper für eine Hin - und Herbewegen (volle Schwingung) benötigt.
Die Frequenz f ist die Zahl der Schwingungen pro Sekunde. Sie ist der Kehrwert der Schwingungsdauer und wird in Hertz (Hz) gemessen.

Erzwungene harmonische Schwingungen und Resonanz:
Bei der Erzeugung ungedämpfter Schwingungen wird auf den Schwinger mittels eines Rückkopplungsmechanismus eine periodisch wirkende Kraft ausgeübt, deren Frequenz mit der des Schwingers übereinstimmt.
Was passiert, wenn auf den Schwinger eine periodische Kraft mit beliebiger Frequenz einwirkt?
Versuch: Ein Federpendel wird mit einer Schnur an eine drehbare Exzenterscheibe gehängt. Das Federpendel wird zunächst in Schwingung versetzt. Es schwingt unter Einfluß der Federkraft in gewohnter Weise mit einer bestimmten Frequenz → der "Eigenfrequenz".
Danach wird das Federpendel festgehalten und der Exzenter wird nun in gang gesetzt. Auf den Körper wirkt nun eine periodische Kraft, deren Frequenz durch die sekundliche Umdrehungszahl der Exzenterscheibe festgelegt wird. Diese Frequenz wird als "Erregerfrequenz" bezeichnet.
Bei kleiner Erregerfrequenz schwingt das Federpendel ungefähr mit der gleichen Amplitude wie die des Erregers. Wird die Erregerfrequenz gesteigert, nimmt die Amplitude des Körpers zu. Stimmt die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz überein, so erreicht die Amplitude des schwingenden Körpers ihren Höchstwert, und seine Bewegung läuft um eine viertel Periode hinter der Bewegung des Erregers her. Es liegt der Resonanzfall vor.
Wird jetzt die Erregerfrequenz weiter gesteigert, bewegt sich der Körper zwar mit dieser Frequenz, aber die Amplitude ist kleiner geworden und die Bewegung des schwingenden Körpers bleibt noch weiter hinter der Bewegung des Erregers zurück.

Wenn die Erregerfrequenz sehr hoch gewählt wird, schwingt der Körper mit dieser Frequenz. Seine Amplitude ist dann sehr klein, und die Bewegung erfolgt im Gegentakt. Der Körper führt also in jedem Fall harmonische Schwingungen mit der Erregerfrequenz und nicht mit der Eigenfrequenz durch. Man spricht von "erzwungenen Schwingungen".

Resonanz:
Die Resonanz ist das wichtigste Phänomen, welches bei erzwungenen Schwingungen auftritt. Sie liegt vor, wenn die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz übereinstimmt und ist an der heftigen Bewegung, welche der Schwinger ausführt, erkenntlich. Die Schwingungsamplitude ist nämlich umso größer, je geringer die Dämpfung ist, und kann unter Umständen Werte erreichen, die die Zerstörung des Systems zur Folge haben (Resonanzkatastrophe!!).
Resonanzkurve:
Eine Resonanzkurve zeigt uns, wie die Amplitude einer Schwingung von der Frequenz der anregenden Kraft abhängt.

Gedämpfte Schwingung:
Ein Federpendel schwingt mit seiner Frequenz ( = Eigenfrequenz). Durch unvermeidliche Energieverluste (Reibung) sinkt die Amplitude ständig, die Frequenz bleibt aber gleich. Es erfolgt eine gedämpfte Schwingung.

HARMONISCHE WELLEN
Gebilde, die harmonische Schwingungen ausführen können, nennt man "harmonische Oszillatoren".

Man unterscheidet zwei Arten:

Transversalwellen: Die schwingungsfähigen Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (= Fortpflanzungsrichtung) der Welle. Sekundärwellen sind Transversalwellen.

Kommen nur zustande, wenn die Teilchen stark aneinander gekoppelt sind.
Beispiele: Wasserwellen, Licht

Longitudinalwellen: Die schwingungsfähigen Teilchen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung (= Fortpflanzungsrichtung) der Welle. Primärwellen sind Longitudinalwellen.

Beispiele: Gase, Schall in der Luft

Eine Schwingung breitet sich periodisch im Raum aus und wird zur Welle. Die Wellenlänge λ ist der Abstand zweier benachbarter Wellenberge oder Wellentäler.
Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenberg oder ein Wellental in der Fortpflanzungsrichtung verschiebt.
Die Schwingungsdauer T ist jene Zeit, die für eine volle Schwingung benötigt wird.
Weil sich die Welle während einer Schwingungsdauer um eine Wellenlänge vorwärtsschiebt, besteht zwischen Wellenlänge, Fortpflanzungsgeschwindigkeit und Schwingungsdauer die
Beziehung:
λ
Fortpflanzungsgeschwindigkeit = Wellenlänge / Schwingungsdauer bzw. c = -
T

Wir kommen daher zu folgendem Resultat:
c
λ = c x T oder λ = -
f

Energie wird bei Wellenbewegungen transportiert.



Das Gesetz der ungestörten Überlagerung:
Zwei Wellen laufen übereinander hinweg, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. An der Überlagerungsstelle erhält man die Elongation der resultierenden Welle, indem man die Elongationen der Einzelwellen vektoriell addiert.
Das Gesetz der ungestörten Überlagerung gilt nicht nur für Federwellen, sondern behält für alle Wellenformen seine Gültigkeit.
Dieses Gesetz soll nun auf zwei harmonische Wellen angewendet werden, die sich in derselben Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit fortpflanzen. Dazu werden die Begriffe Gangunterschied (= Phasenbeziehung) und Schwingungsebene benötigt.
Der Gangunterschied zweier harmonischer Wellen der gleichen Wellenlänge gibt die Lage der beiden Wellen zueinander an. Zwei harmonische Wellen haben nur dann einen festen, wohldefinierten Gangunterschied, wenn sie die gleiche Wellenlänge besitzen und sich in derselben Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit fortpflanzen.
Den Begriff Gangunterschied gibt es sowohl bei Transversalwellen als auch bei Longitudinalwellen. Wobei hingegen der Begriff der Schwingungsebene nur auf Transversalwellen zugeschnitten ist.
Die Schwingungsebene einer Transversalwelle wird durch Fortpflanzungsrichtung und Schwingungsrichtung festgelegt.

Konstruktive Interferenz:
Zwei linear polarisierte, harmonische Wellen mit gleicher Amplitude breiten sich in derselben Richtung aus. Die Summe der dauerhaften Interferenz, führt zu einer Verstärkung der beiden Wellen. Die Amplitude der Summenwelle ist die Amplitude der Einzelwelle.
Bei einem Gangunterschied von d = 0, verstärken die beiden Wellen einander.
Destruktive Interferenz:
Zwei linear polarisierte, harmonische Wellen mit gleicher Amplitude breiten sich in derselben Richtung aus. Es kommt zu einer Auslöschung der beiden Wellen, da der Gangunterschied
d = λ/2 ist.
Bei zwei Wellen mit unterschiedlicher Amplitude kommt es zu einer Schwächung der beiden Wellen.

Konstruktive und destruktive Interferenzerscheinungen treten bei Transversalwellen nur auf, wenn die Schwingungsebenen zusammenfallen. Das Phänomen lässt sich aber auch an Longitudinalwellen beobachten.
Zirkular polarisierte Wellen:
Zwei linear polarisierte, harmonische Wellen mit den gleichen Amplitude breiten sich in derselben Richtung aus. Ihre Schwingungsebenen stehen aufeinander senkrecht.
Wie sieht die resultierende Welle aus,

wenn der Gangunterschied d = 0 oder d = λ/2 ist, wenn der Gangunterschied d = λ/4 oder d = 3λ/4 ist?

Ergebnis:

Es entsteht wieder eine linear polarisierte Welle, deren Schwingungsebene geneigt ist, und zwar: für d = 0 um 45° und für d = λ/2 um 135°. Es entsteht eine zirkular polarisierte Welle, welche folgendermaßen bezeichnet wird: rechtszirkular für d = λ/4 und linkszirkular für d = 3λ/4.

Bei einer linear polarisierten Welle hat die Elongation an einer festen Stelle ständig die gleiche Richtung. Bei den zirkular polarisierten Wellen dagegen verändert die Elongation an einer festen stelle ihre Richtung und läuft bei rechtszirkularen Wellen im Uhrzeigersinn und bei linkszirkularen Wellen im Gegenuhrzeigersinn um, sofern man der Welle entgegenblickt. Polarisationserscheinungen kommen nur bei Transversalwellen vor. Longitudinalwellen besitzen keine "Seitlichkeit" und können daher auch keine Polarisationserscheinungen zeigen.

Reflexion von Wellen:
Treffen Wellen unter dem Einfallswinkel α auf eine ebene Wand auf, so werden sie so reflektiert, dass der Reflexionswinkel α’ gleich groß ist wie der Einfallswinkel.
α = α’
Das Einfallslot steht immer senkrecht zur reflektierenden Fläche.

Brechung von Wellen:
Eine Welle wird immer dann gebrochen, wenn sie unter schrägem Einfallswinkel in ein neues Medium eintrifft, in dem sich ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert.
Brechungsgesetz (Snellius):
sin α / sin β = konstant = n = c / c
n.... Brechzahl
c .... Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes
Sinus des Einfallswinkels verhält sich zum Sinus des gebrochenen Winkels immer konstant.
Wird der Einfallswinkel größer, muss der Brechungswinkel auch größer werden. Je stärker die Brechzahl, um so stärker die Brechkraft.

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