Logische Elektronik

LOGISCHE ELEKTRONIK


0. Einige Begriffe vorweg:

Boolesche Algebra: Digitale Schaltungen haben häufig einen relativ komplizierten Aufbau. Sie sind stets aus Grundschaltungen zusammengesetzt. Um eine Schaltung zweckmäßig und effizient aufbauen zu können, bedient man sich formaler Methoden. Hilfsmittel dazu liefert die Boolesche Algebra. Sie wird nach George Boole (1815 - 1864) benannt. Von einer Algebra spricht man, wenn zwischen den Elementen einer Menge M ( bei uns ist M={0,1} ) Verknüpfungsregeln definiert sind.Die Verknüpfungen heißen auch binäre Operationen, da das zugeordnete Element aus M und daher 0 oder 1 ist.

Es gibt drei grundlegende Verknüpfungen:




Für diese gibt es eine Reihe von Rechenregeln, die im Anhang A angegeben sind.

Weitere Verknüpfungen wären:

Antivalenz	a	b
	0	0	0
	1	0	1
	0	1	1
	1	1	0

Die erwähnten Verknüpfungen sind folgendermaßen festgelegt:

Konjunktion	a	b
	0	0	0
	1	0	0
	0	1	0
	1	1	1

Negation	a
	0	1
	1	0

Äquivalenz	a	b
	0	0	1
	1	0	0
	0	1	0
	1	1	1
Disjunktion	a	b
	0	0	0
	1	0	1
	0	1	1
	1	1	1

Schaltvariablen: Sind Veränderliche, die nur zwei Zustände (0,1: Binärzustände) annehmen können. Sie werden daher auch als digitale Veränderliche bezeichnet. Als Konstante wird ein Symbol bezeichnet, das ein festes Element von M darstellt.

Schaltfunktion: Darunter versteht man einen Ausdruck bestehend aus Konstanten, Variablen und Verknüpfungen (Konjunktion, Disjunktion, Negation oder andere). Die Konjunktion, Disjunktion und Negation werden als Grundfunktionen bezeichnet.

Boolescher Ausdruck: Ein aus Variablen, Konstanten und den Verknüpfungen Konjunktion, Disjunktion und Negation bestehender Ausdruck.

Eingangs - und Ausgangsvariablen: Die unabhängigen Variablen a₁, a₂, ...,a_n nennt man


Eingangsvariablen (kurz: Eingänge) und das Funktionsergebnis f(a₁,a₂,...,a_n) Ausgangs - variable (Ausgang).



Schaltnetz: Ist eine Logikschaltung, deren Ausgangszustand zu jedem Zeitpunkt nur von den Eingangszuständen zu diesem Zeitpunkt abhängt.

Schaltwerk: Der Ausgangszustand hängt von früheren Eingangszuständen ab. Dies ist z.B. bei Rückkopplung eines oder mehrerer Ausgänge auf einen oder mehrere Eingänge über eine Verzögerungseinheit der Fall. Das sind Schaltungen "mit Gedächtnis" und werden daher bei Speicherelementen verwendet.

1. Schaltfunktionen

Für den Aufbau logischer Schaltungen gilt folgende Tatsache:

Jede Schaltfunktion lässt sich auf die drei Grundfunktionen UND, ODER und NICHT zurückführen.


1.1. Grundfunktionen

Die verschiedenen Bezeichnungen der Funktionen:



Konjunktion: UND (AND) - Funktion
Disjunktion: ODER (OR) - Funktion
Negation: NICHT (NOT) - Funktion













1.2. Spezielle Funktionen




Bemerkungen zu den genannten Funktionen:

NOR: leitet sich von Not OR ab
NAND: kommt von Not AND
ANTIVALENZ: auch als EXclusives OdeR bekannt (XOR - Funktion)
Es gilt:

ÄQUIVALENZ: Es gilt:



2. Normalformen

Über disjunktive und konjunktive Normalformen können Schaltfunktionen mit den drei Grundfunktionen dargestellt werden. An einem Beispiel soll dies verdeutlicht werden.

Beispiel:

Fall	S	A	K	W
1	0	0	0	0
2	0	0	1	1
3	0	1	0	0
4	0	1	1	1
5	1	0	0	1
6	1	0	1	0
7	1	1	0	0
8	1	1	1	0

Sollte bei einer Maschine eine Störung auftreten (S = 1), wobei die Aufsichtsperson nicht anwesend (A = 0) und die Kontrolltaste nicht gedrückt (K = 0) ist, so wird ein Warnsignal (W = 1) abgegeben. Weiters wird ein Signal abgegeben, wenn die Kontrolltaste betätigt wird, obwohl keine Störung vorliegt.
Wie man sieht, ist W eine dreistellige Schaltfunktion.

2.1. Disjunktive Normalform

Für die Zustände W=1 werden die Variablen S, A und K konjunktiv so verknüpft, dass W=1 ist. Alle Konjunktionsterme (UND - Verknüpfung, die jede Schaltvariable nur einmal enthält) werden schließlich disjunktiv zusammengefaßt.







In unserem Beispiel sieht das folgendermaßen aus:
In den Fällen 2,4 und 5 haben wir den Zustand W=1. S,A und K konjunktiv verknüpft soll, also den Zustand W=1 ergeben: _ _
Fall 2 S /\ A /\ K = 1 (Konjunktionsterm 1)
_
Fall4 S /\ A /\ K = 1 (Konjunktionsterm 2)
_ _
Fall5 S /\ A /\ K = 1 (Konjunktionsterm 3)

Da die Konjunktionsterme fast immer Null ergeben, außer bei einer ganz bestimmten Belegung der Schaltvariablen (also in nur einem einzigen Fall), werden sie als Minterme bezeichnet.
Diese Minterme werden nun disjunktiv zusammengefaßt:
_ _ _ _ _
W = S /\ A /\ K \/ S /\ A /\ K \/ S /\ A /\ K

Dieser Ausdruck wird als disjunktive Normalform bezeichnet.



Das entsprechende Schaltnetz :
















Anmerkung: alle Bausteine haben hier 3 Eingänge


2.2 Konjunktive Normalform

Es lässt sich die Schaltfunktion aus den drei Grundfunktionen auch nach einem anderen Verfahren darstellen:

Wir betrachten nun die Zustände W = 0. Es werden die Disjunktionsterme (ODER - Verknüpfung, die jede Schaltvariable ein Mal enthält) gebildet und diese werden schließlich konjunktiv verknüpft:
_ _ _ _ _ _ _ _
W = (S \/ A \/ K) /\ (S \/ A \/ K) /\ (S \/ A \/ K) /\ (S \/ A \/ K) /(S \/ A \/ K)
Fall 1 Fall 3 Fall 6 Fall 7 Fall 8




Jeder Disjunktionsterm hat nur bei einer Kombination den Wert 0, ansonsten immer 1. Daher heißen die Disjunktionsterme auch Maxterme. Dieser Ausdruck heißt auch konjunktive Normalform.
Das entsprechende Schaltnetz enthält nur die logischen Bausteine UND, ODER und NICHT.


Wir haben nun zwei Schaltungen erhalten. Diese könnten mit den Rechengesetzen (siehe Anhang) vereinfacht werden. Zur Optimierung von Schal - tungen gibt es spezielle Verfahren:
Methode nach QUINE - MCCLUSKEY oder KARNAUGH - VEITCH











3. Anwendungen

3.1. Halbaddierer

Ein Halbaddierer dient zur Addition von zwei einstelligen Dualzahlen.

a	b	s	ü
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

a und b sind die beiden Eingänge für die Dualzahlen, ü ist der Übertrag und s die Summe. Es lässt sich somit für die Summe und dem Übertrag problemlos die disjunktive Normalform anschreiben:






Das entsprechende Schaltnetz:

















Da Halbaddierer häufig ein Bestandteil komlexerer Schaltungen sind, wurde ein eigenes Schaltsymbol entworfen:





3.2. Der Volladdierer

a	b	c	s	ü
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Ein Volladdierer addiert zwei ein - stellige Dualzahlen und einen Über - trag. Wenn a und b die Eingänge der zu addierenden Dualzahlen sind und c der Übertrag ist, so lässt sich aus der angegebenen Funktionstabelle die disjunktive Normalform entwickeln und das entsprechende Schaltnetz aufbauen:





Unter der Verwendung von Halbaddierern reduziert sich das Schaltnetz zu:











3.3. Dezimal - Dual - Umsetzer (Codierer)



Es sollen einstellige Dezimalzahlen (0,1,..,9) in Dualzahlen umge - wandelt werden (daher der Name: Codierer). Das Schaltnetz muss daher 10 Eingänge und 4 Ausgänge besitzen.



Dezimal - Dual - Umsetzer

Taste	Dualzahlen d3 d2 d1 d0
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
9	1	0	0	1

Verbindet man die 10 Eingänge mit Zifferntasten einer Tastatur, so erhält man beim Druck auf eine dieser Tasten, die entsprechende Dualdarstellung. Damit kann die Ver - bindung zwischen dem Äußeren und dem Inneren eines Computers dargestellt werden. Die nebenstehende Tabelle soll zeigen, welche Dualzahlen bei welchen Tasten erzeugt werden müssen:


Für jeden Ausgang (d₀,...,d₃) muss eine eigene Logikschaltung entwickelt werden. Die angegebene Schaltung resultiert aus den Normalformen:






















3.4. Dual - Dezimal - Umsetzer (Decodierer)

Er stellt die Umkehrung des vorhin besprochenen Codierers dar. Der Vorgang, Dualzahlen in dezimale umwandeln, wird als Decodieren bezeichnet. Diesmal hat das Schaltnetz 4 Eingänge und 10 Ausgänge. Die angegebene Tabelle gibt die Zusammenhänge zwischen den Ein - und Ausgängen wieder.

Dualzahl d3 d2 d1 d0	Aus - gang
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	2
0	0	1	1	3
0	1	0	0	4
0	1	0	1	5
0	1	1	0	6
0	1	1	1	7
1	0	0	0	8
1	0	0	1	9

Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass gilt:










Daraus ließe sich ein Schaltnetz eines Decodierers entwickeln. Es würde eine Schaltung mit vielen logischen Bausteinen entstehen. Es ist daher angebracht, die logischen Ausdrücke mit den Rechengesetzen zu vereinfachen.


In der Schaltungstechnik wird für den Decodierer das nebenstehende Schaltbild verwendet:



3.5. Siebensegmentanzeige

Im vorangegangenen Beispiel wurde eine Dualzahl in eine dezimale umgewandelt. Die Dezimalzahlen können durch das Aufleuchten einer Leuchtdiode am Ausgang dargestellt werden. Es wäre sinnvoll, wenn die Dezimalzahlen wie bei einem Taschenrechner oder bei einer Leuchtanzeige dargestellt werden könnten. Mit einer Siebensegmentanzeige, bestehend aus Leuchtdioden oder Flüssigkristallstreifen, lassen sich alle Ziffern von 0 bis 9 darstellen. Dazu werden Leuchtdioden in Form einer Acht aneinandergereiht. Die Frage ist, wie die einzelnen Segmente an die Decoderausgänge angeschlossen werden müssen, damit die Ziffern dargestellt werden können. Die Realisierung ist im Anhang B angegeben.



Wesentlich einfacher lässt sich diese Schaltung mit sogenannten Koppeldioden realisieren. Gekreuzte Leitungen werden als gegeneinander isoliert be - trachtet, außer sie sind an der Kreuzungstelle verlötet. Mit diesen sogenannten Koppel - dioden gibt es nun die Mög - lichkeit den Strom in zwei Leitungen in bestimmte Richtungen zu lenken. Eine Diode lässt den Strom nur in eine Richtung durch. Das heißt, dass die Diode eine darunterliegende Leitung mit einer darüberliegenden verbindet (koppelt).



Somit haben wir eine übersichtliche Darstellung der Ansteuerung einer Siebensegmentanzeige:









Bei genauerem Betrachten ist zu erkennen, dass die angegebene Schaltung das Gewünschte liefert.






3.6 Der Festwertspeicher

ROM (read - only - memory) ist ein NUR - LESE - Speicher. Verwendet werden ROMs zur Speicherung von nicht veränderlichen Programmen und Daten. Neben diesen gibt es noch sogenannte PROMs (programmable - read - only - memory). Das sind programmierbare Speicher. Mit einem speziellen Gerät lassen sich diese Speicher ein Mal beschreiben. Ihr Inhalt kann allerdings nicht mehr verändert werden. Mit Koppeldioden lässt sich dieser Vorgang realisieren. Koppeldioden werden mit wohldosierten Stromstößen "durchgebrannt". Somit ist die Verbin - dung zwischen einer Adreß - und Datenleitung zerstört (siehe Abbildung unten). Ein 1 - Zustand auf der Adreßleitung kann sich auf der Datenleitung nicht fortsetzen. Eine zerstörte Koppel - diode entspricht dem Zustand 0.
Es soll gezeigt werden, wie die 4 Primzahlen (2,3,5,7) als unveränderliche Daten auf ein PROM gelegt werden können. Der Speicherinhalt soll schließlich über die 7 - Segmentanzeige ausgegeben werden.

Die 4 Zahlen liegen binär auf den Adressen 1,2,3 und 4:

Adresse	Speicherinhalt
1	010
2	011
3	101
4	111

Mit der angegebenen Schaltung lässt sich das Problem lösen:

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