Reibung
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Grundlagen der Digitaltechnik
GRUNDLAGEN DER DIGITALTECHNIK
Gegenüberstellung von Analog - und Digitaltechnik
ANALOG
Ua = 0V...5V
Analoge Ausgangsfunktion
Für bestimmte Eingangsgrößen X1, X2, X3 ergibt sich für die Ausgangsgröße Y ein bestimmter Zahlenwert.
z.Bsp.: Y = X1+X2*X3
für X1 = 2, X2 = 7, X3 = 5
ergibt sich: Y = 2+7*5 = 37
Das Rechnen mit diesen Größen bezeichnet man als
gewöhnliche Algebra.
DIGITAL
Ua= 0V od. 5V
Schalter offen.............0V....0, L
Schalter geschlossen....5V....1, H
Digitale Ausgangsfunltion
Für bestimmte Schalterstellungen X1, X2, X3 ergibt sich für die Ausgangsgröße Y entweder 0 oder 1 .
z.Bsp.: Y=X1∨(X2∧X3)
Das Rechnen mit diesen bezeichnet man als
Schaltalgebra (Bool'sche Algebra).
Verbindung zwischen Schaltalgebra und Schalternetzwerken:
Symbolvereinbarung:
| kein Strom 0 LOW |
Strom 1 HIGH |
|
| Eingangsgröße: Schalterstellung |
Schalter nicht gedrückt |
Schalter gedrückt |
| Ausgangsgröße: Lampe |
Lampe brennt nicht |
Lampe brennt |
A ... Arbeitskontakt
... Ruhekontakt
In beiden Fällen ist die Eingangsgröße A. Nur die Ausgangs - größen unterscheiden sich.
Im Ruhezustand keuchtet Y2 ,Y1 nicht.
Wahrheitstabelle: (Funktionstabelle, Wertetabelle)
In dieser Tabelle wird die Ausgangsgröße in Abhängigkeit von den Eingangsgrößen dargestellt. Es wird für jede mögliche Kombination der Zustände der Eingangsgrößen eine bestimmte Ausgangsgröße zugeordnet.
z.B.: UND - Verknüpfung (siehe später)
| A |
B |
Y |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
Die wichtigsten Operatoren der Schaltalgebra
Grundfunktionen
| NEGATION (Inversion) Darstellungsarten: Bool’sche Algebra |
ODER - VERKNÃœPFUNG (Disjunktion) Darstellungsarten: Mengenlehre A∪B Bool'sche Algebra A∨B (A+B) |
UND - VERKNÃœPFUNG (Konjunktion) Darstellungsarten: Mengenlehre A∩B Bool'sche Algebra A∧B (A*B) |
|||||
Wertetabelle |
Schaltsymbol |
Wertetabelle |
deutsches Schaltsymbol |
amerikan. Schaltsymbol |
Wertetabelle |
deutsches Schaltsymbol |
amerikan. Schaltsymbol |
Schaltnetzwerk |
Dioden - ersatzschaltung |
Schaltnetzwerk |
Dioden - ersatzschaltung |
Vergleich Mengenlehre |
Schaltnetzwerk |
Dioden - ersatzschaltung |
Vergleich Mengenlehre |
| Bezeichnungen |
DIN 4070 alt |
amer. Norm |
Bool’sche Gleichungen |
Wahrheitstabelle |
| NAND |
||||
| NOR |
||||
| Äquivalenz |
||||
| Antivalenz |
||||
| Implikation |
||||
| Inhibit |
||||
| "normales" Rechnen |
Schaltalgebra |
Schalternetzwerk |
Logikgatter |
| I.) Kommutatives Gesetz a) a*b=b*a 3*4=4*3 b) a+b=b+a 3+4=4+3 |
a*b=b*a a+b=b+a |
||
| II.) Assioziatives Gesetz a) a*(b*c)=(a*b)*c b) a+(b+c)=(a+b)+c |
a*(b*c)=(a*b)*c a+(b+c)=(a+b)+c |
| "normales" Rechnen |
Schaltalgebra |
Schalternetzwerk |
Logikgatter |
| III.) Absorbtions - Gesetz a) b) |
a*(a+b)=a a+(b*a)=a |
||
| IV.) Distributiv - Gesetz a) a*(b+c)=a*b+a*c b) |
a*(b+c)=a*b+a*c a+(b*c)=(a+b)*(a+c) |
| "normales" Rechnen |
Schaltalgebra |
Schalternetzwerk |
Logikgatter |
| V.) De Morgan a) b) |
|||
| VI.) Allgemeine Rechenregeln a) b) c) d) e) |
a+ =1 a* =0 =a a+a=a a*a=a |
a*1=a a*0=0
a+1=1 a+0=a
Bestimmung der Bool’schen Funktion aus der Wahrheitstabelle:
truetab.clp
| DNF |
KNF |
|||||||
| D |
C |
B |
A |
Minterm |
Y |
Maxterm |
Y |
|
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
/D*/C*/B*/A |
1 |
D+ C+ B+ A |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
/D*/C*/B* A |
1 |
D+ C+ B+/A |
1 |
| 2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
/D*/C* B*/A |
1 |
D+ C+/B+ A |
1 |
| 3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
/D*/C* B* A |
1 |
D+ C+/B+/A |
1 |
| 4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
/D* C*/B*/A |
1 |
D+/C+ B+ A |
1 |
| 5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
/D* C*/B* A |
0 |
D+/C+ B+/A |
0 |
| 6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
/D* C* B*/A |
1 |
D+/C+/B+ A |
1 |
| 7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
/D* C* B* A |
0 |
D+/C+/B+/A |
0 |
| 8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
D*/C*/B*/A |
0 |
/D+ C+ B+ A |
0 |
| 9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
D*/C*/B* A |
1 |
/D+ C+ B+/A |
1 |
| A |
1 |
0 |
1 |
0 |
D*/C* B*/A |
0 |
/D+ C+/B+ A |
0 |
| B |
1 |
0 |
1 |
1 |
D*/C* B* A |
0 |
/D+ C+/B+/A |
0 |
| C |
1 |
1 |
0 |
0 |
D* C*/B*/A |
0 |
/D+/C+ B+ A |
0 |
| D |
1 |
1 |
0 |
1 |
D* C*/B* A |
0 |
/D+/C+ B+/A |
0 |
| E |
1 |
1 |
1 |
0 |
D* C* B*/A |
0 |
/D+/C+/B+ A |
0 |
| F |
1 |
1 |
1 |
1 |
D* C* B* A |
0 |
/D+/C+/B+/A |
0 |
Sum Term (Disjunktion)=Maxterm
Produkt Term (Konjunktion)=Minterm
DNF (Disjunktive Normalform):
Bei der Bildung der DNF werden bei den Zeilen bei denen die Ausgangsvariable 1 ist, die Minterme der Eingagsvariablen gebildet. Aus diesen Konjunktionen wird dann die Disjunktion gebildet.
KNF (Konjunktive Normalform):
Bei der Bildung der KNF werden bei den Zeilen bei denen die Ausgangsvariable 0 ist, die Maxterme der Eingagsvariablen gebildet. Aus diesen Disjunktionen wird dann die Konjunktion gebildet.
Grundsätzlich wählt man die Form für die weniger Junktionen gebildet werden müssen.
Beispiel:
Für die obige Wahrheitstabelle muss für die DNF die Disjunktion der Minterme 0,1,2,3,4,6,9 gebildet werden.
Für die KNF muss die Konjunktion der Maxterme 5,7,8,10,11,12,13,14,15 gebildet werden.
Durch Vereinfachung der beiden Gleichungen erhält man für beide das selbe Ergebnis. (siehe
Seite 10+11)
Karnaughdiagramm :
Das Karnaughdiagramm ist nur eine andere Anordnung der Wahrheitstabelle (Funktionstabelle). Die Anordnung ist so gewählt, dass sich benachbarte (Min - bzw.Max - )Terme nur in EINER VARIABLEN UNTERSCHEIDEN. Dadurch erkennt man am Muster der Anordnung von 0 bzw.1 (meist an der Blockgröße) die möglichen Vereinfachungen.
Blockbildung:
Betrachtet man in der Wahrheitstabelle die Zeilen z.B. für DNF so erkennt man z.B. bei Zeile 1 und 9 das unabhängig vom Zustand der Variablen D bei C=0, B=0 und A=1 immer der selbe Zustand am Ausgang auftritt (1). Man kann also so vereinfachen indem man mehrere Zeilen mit gleicher Ausgangsvariable und mit einer oder mehreren unabhängigen Variablen zu Blöcken zusammen - fassen. Diese Zustände können daher auch mit weniger Variablen beschrieben werden.
Bei 2er - Block 1 unabhängige Variable 3 Variablen
4er - Block 2 unabhängige Variablen 2 Variablen
8er - Block 3 unabhängige Variablen 1 Variable
Man kann aus diesen Vereinfachungen die vereinfachte Wahrheitstabelle aufstellen wobei die unabhängigen Variablen mit X bezeichnet sind. Im Karnaughdiagramm sind die Min,Max - Terme so angeordnet das diese Blöcke direkt in Form von Vierecken (d.h. nebeneinanderliegende Felder) zu Blöcken zusammenfassen kann.
Für die Blockbildung muss noch beachtet werden, dass man das Diagramm auch noch links, rechts, oben und unten anschreiben kann um Blöcke zu bilden
Gezeichnet sind Wahrheitstabelle und Karnaughdiagramm für eine Funktion mit 4 Eingangs - variablen. Hat man nur 3 Eingangsvariable, reduziert sich dieses auf die Hälfte ( Terme 0 bis 6 ).
vereinfachte Wahrheitstabelle
| 8 |
4 |
2 |
1 |
||
| Termnummern |
D |
C |
B |
A |
Y |
| 1, 9 |
X |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 0, 1, 2, 3 |
0 |
0 |
X |
X |
1 |
| 0, 2, 4, 6 |
0 |
X |
X |
0 |
1 |
truetab.clp
| DNF |
KNF |
|||||||
| D |
C |
B |
A |
Minterm |
Y |
Maxterm |
Y |
|
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
/D*/C*/B*/A |
1 |
D+ C+ B+ A |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
/D*/C*/B* A |
1 |
D+ C+ B+/A |
1 |
| 2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
/D*/C* B*/A |
1 |
D+ C+/B+ A |
1 |
| 3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
/D*/C* B* A |
1 |
D+ C+/B+/A |
1 |
| 4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
/D* C*/B*/A |
1 |
D+/C+ B+ A |
1 |
| 5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
/D* C*/B* A |
0 |
D+/C+ B+/A |
0 |
| 6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
/D* C* B*/A |
1 |
D+/C+/B+ A |
1 |
| 7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
/D* C* B* A |
0 |
D+/C+/B+/A |
0 |
| 8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
D*/C*/B*/A |
0 |
/D+ C+ B+ A |
0 |
| 9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
D*/C*/B* A |
1 |
/D+ C+ B+/A |
1 |
| A |
1 |
0 |
1 |
0 |
D*/C* B*/A |
0 |
/D+ C+/B+ A |
0 |
| B |
1 |
0 |
1 |
1 |
D*/C* B* A |
0 |
/D+ C+/B+/A |
0 |
| C |
1 |
1 |
0 |
0 |
D* C*/B*/A |
0 |
/D+/C+ B+ A |
0 |
| D |
1 |
1 |
0 |
1 |
D* C*/B* A |
0 |
/D+/C+ B+/A |
0 |
| E |
1 |
1 |
1 |
0 |
D* C* B*/A |
0 |
/D+/C+/B+ A |
0 |
| F |
1 |
1 |
1 |
1 |
D* C* B* A |
0 |
/D+/C+/B+/A |
0 |
Karnaughdiagramm DNF
3 Eingangsvariable A, B, C
| A |
| 0 |
1 |
3 |
2 |
||
| 4 |
5 |
7 |
6 |
C |
| B |
Karnaughdiagramm mit 4 Eingangs - variablen A, B, C, D zur Aufstellung der log.Funktion entsprechend der KNF
00 |
01 |
11 |
10 |
2,1 B,A |
||
| A |
||||||
| 00 |
0 |
1 |
3 |
2 |
||
| 01 |
4 |
5 |
7 |
6 |
||
| 11 |
C |
D |
F |
E |
C |
|
| 10 |
D |
8 |
9 |
B |
A |
|
| D,C 8,4 |
B |
Y= (/C*/D) + (/A*/D) + (A*/B*/C)
DNF
| A |
| 0 /D*/C*/B*/A |
1 /D*/C*/B* A |
3 /D*/C* B* A |
2 /D*/C* B*/A |
|
| 4 /D* C*/B*/A |
5 /D* C*/B* A |
7 /D* C* B* A |
6 /D* C* B*/A |
|
| C D* C*/B*/A |
D D* C*/B* A |
F D* C* B* A |
E D* C* B*/A |
C |
| 8 D*/C*/B*/A |
9 D*/C*/B* A |
B D*/C* B* A |
A D*/C* B*/A |
|
| B |
KNF
| /A |
||||
| 0 D+ C+ B+ A |
1 D+ C+ B+/A |
3 D+ C+/B+/A |
2 D+ C+/B+ A |
|
| 4 D+/C+ B+ A |
5 D+/C+ B+/A |
7 D+/C+/B+/A |
6 D+/C+/B+ A |
|
| C /D+/C+ B+ A |
D /D+/C+ B+/A |
F /D+/C+/B+/A |
E /D+/C+/B+ A |
/C |
| 8 /D+ C+ B+ A |
9 /D+ C+ B+/A |
B /D+ C+/B+/A |
A /D+ C+/B+ A |
| /B |
Auch hier lässt sich wieder beweisen, dass DNF und KNF gleich sind. Durch Umformen der KNF erhält man die DNF:
Auch die Ergebnisse aus der echten DNF bzw. KNF können vereinfacht werden, und auf das Ergebniss aus dem Karnaugh gebracht werden. Dabei erkennt man gleich die Vereinfachung durch das Karnaughdiagramm.
DNF (siehe Seite 8):
KNF: (siehe Seite 8):
Wie man sieht führen alle 4 Lösungswege zum selben Ergebnis. Bei den Vereinfachungen wurde auch deutlich, wie viel einfacher der Lösungsweg mit Hilfe des Karnaugh - Diagramms ist.
1514 Worte in "deutsch" als "hilfreich" bewertet