Die Integralrechnung

HISTORIE

Die Integralrechnung entstand ursprünglich aus dem Problem, den Inhalt solcher ebenen Bereiche zu erklären, die von beliebigen Kurven begrenzt werden. Die Integralrechnung bedient sich dabei der Untersuchung von Grenzwerten und hängt eng mit der Differentialrechnung zusammen.
Wie bei der Differentialrechnung ist es auch bei der Einführung in die Integralrechnung zweckmäßig, aus den vielen verwandten Problemstellungen bezüglich der Anwendung der Integration eines herauszugreifen. Als ein solches Einführungsbeispiel eignet sich - u. a. wegen seiner Anschaulichkeit - besonders das Problem des Flächeninhalts eines ebenen Flächenstücks unterhalb eines Graphen einer bekannten Funktion.
Einen entscheidenden Beitrag zur Entwicklung der Integralrechnung lieferte Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866). Mit seiner Doktorarbeit "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Größe" aus dem Jahre 1859 begründete er die Theorie der Funktionen vom Differenzierbarkeitsbegriff für komplexe Funktionen ausgehend neu.
Als einführendes Beispiel soll dabei die Flächenberechnung unter dem Graph einer Funktion mit Hilfe der Streifenmethode dienen.

DAS BESTIMMTE INTEGRAL

Die folgende Betrachtung beschränkt sich auf stetige und positive Funktionen und ermöglicht eine anschauliche Erklärung des bestimmten Integrals (Riemann - Integral); dieses kann aber auch auf eine sehr viel allgemeinere Funktionsklasse erklärt werden.
Definition:



f(x) sei eine auf dem Intervall [a;b] erklärte stetige, positive Funktion. Der Graph von f(x) begrenzt dann zusammen mit der x - Achse und den Ordinaten über a und b ein Flächenstück A. Der Flächeninhalt dieser Fläche A wird als das bestimmte Integral von f(x) über dem Intervall [a;b] bezeichnet.
Zur weiteren Vereinfachung ist die folgende Betrachtung jedoch auf das Intervall [0;b] beschränkt.

DIE STREIFENMETHODE

Gegeben ist die Funktion f mit:



Gesucht ist eine Zahl, die wir der positiven Fläche (Normalfläche) unter dem Graphen von f über dem Intervall [0;b] als Maßzahl zuordnen können. In den Abbildungen auf den folgenden Blättern ist b=4 gewählt. Man nähert nun die Normalfläche durch die zu kleine "untere Treppenfläche" und durch die zu große "obere Treppenfläche" an. Dabei wird das Intervall [0;4] in n Teilintervalle zerlegt, die alle die Länge h=b/n=4/n haben. Man bezeichnet die Maßzahlen der beiden Treppenflächen als Untersumme s_n bzw. als Obersumme S_n .
Für bestimmte n stellen diese beiden Zahlen natürlich nur sehr grobe Näherungswerte für die gesuchte Maßzahl der Normalfläche dar. Man muss das Intervall in eine größere Anzahl von Teilintervallen zerlegen, um bessere Näherungswerte zu erhalten. Die folgenden Abbildungen sollen nun verdeutlichen, wie sich der Mittelwert aus Ober - und Untersumme dem Integral, der eigentlichen Maßzahl, bei Zunahme der Anzahl n der Teilintervalle, langsam nähert.





ALLGEMEINE RECHNUNG FüR DAS INTERVALL [0;B]
Wenn man das Intervall [0;b] in n gleich große Teilintervalle zerlegt, dann hat jedes einzelne Teilintervall die Länge h=b/n. Man erhält für die Untersumme s_n und für die Obersumme S_n :
Sowohl bei s_n wie bei S_n tritt eine Summe von Quadratzahlen auf. Für diese Summen gibt eine Summenformel, die man mit Hilfe des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion beweisen kann:
Damit erhält man:

s_n und S_n stellen zwei Zahlenfolgen dar. Indem man nun die Anzahl n der Teilintervalle gegen Unendlich streben lässt, kann man die Maßzahl der Fläche in Abhängigkeit von der Intervallbegrenzung b mit Hilfe der Grenzwertsätze berechnen:
Da Unter - und Obersumme denselben Grenzwert b³/12 haben, kann man diese Zahl als Maßzahl der betreffenden (vom Parameter b abhängigen) Normalfläche zuordnen. Man nennt den gemeinsamen Grenzwert von Unter - und Obersumme das Integral der Funktion f über dem Intervall [0;b] und schreibt allgemein:
Bei diesem Beispiel gilt also:

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