Polynomfunktionen als Funktionsersatz

Polynomfunktionen als Funktionsersatz

Polynomfunktionen als e - Funktionsersatz

Wir wissen von der Herleitung von e, dass gilt:

<< 1
⇒ e^h≈ 1 + h

Damit ist die erste Näherung für e^x: e^x≈ 1 + x für
<< 1

Im Bild (S.88) können wir sehen, dass y = 1 + x Tangente an f(x) = e^xfür x = 0 ist, und außerdem f(x) = e^ximmer, außer für x = 0, über der Tangente liegt.
⇒ e^x> 1 + x
Eine bessere Näherung erhält man, indem man die Gerade durch eine Parabel ersetzt. Dadurch wird die Krümmung mit berücksichtigt.
Um diese zu finden schauen wir uns noch einmal die Tangente an. Sie stimmt nicht nur im Funktionswert, sondern auch in der 1. Ableitung mit dem Graphen der Funktion überein.
Für die Parabel fordern wir nun, dass diese auch in der 2. Ableitung mit dem Wert der 2. Ableitung von f(x) = e^xfür x = 0 übereinstimmt, so dass sie dort auch die gleiche Krümmung besitzt.

Ansatz:

<sub>;
; exp(0) = 1 ⇒


;</sub>
; exp^′(0) = 1 ⇒


_;
; exp^′′(0) = 1 ⇒


⇒


Nach dieser Betrachtung können wir vermuten, dass die Annäherung um so besser wird, je höher die Potenz der Polynomfunktion ist. Wir nehmen deshalb gleich ein Polynom n - ten Grades und verlangen, dass möglichst viele Ableitungen (n Stück) mit dem Funktionswert von f(x) = e^xfür x = 0 übereinstimmen.

Der Term des Polynoms n - ten Grades lautet dann:


Wir bilden die Ableitungen:



k ^. (k - 1) ^.(k - 2) ^.... ^.2^.1 wird abgekürzt mit dem Symbol k! und bedeutet das Produkt aller natürlicher Zahlen von 1 bis k. Um dies noch zu vervollständigen, wurde noch 1! = 1 und
0! = 1 definiert.


Den Grund kann man an folgender Formel sehen:
n! = (n - 1)! ^.n
Für n = 2 gilt:
2! = 1 ^.2 = 2 und 2! = (2 - 1)! ^.2 = 1! ^.2 ⇒1! = !
Für n = 1 gilt:
1! = (1 - 1)! ^.1 = 0! ^.1 und 1! = 1 ⇒ 0! = 1


Für die k - te Ableitung unserer Polynomfunktion an der Stelle x = 0 gilt also:


Da alle Ableitungen von f(x) = e^xfür x = 0 den Wert 1 haben muss also

sein, und somit


Die gesuchte Polynomfunktion n - ten Grades heisst also:


_kurz:





Polynomfunktion als sin - Funktionsersatz:

<sub>Ansatz (für n = 5):













f(x) = sinx</sub>
f^′(x) = cosx
f^′′(x) = - sinx
f^′′′(x) = - cosx
f⁽⁴⁾(x) = sinx
f⁽⁵⁾(x) = cosx


; f(0) = 0 ⇒


; f^′(0) = 1 ⇒


; f^′′(0) = 0 ⇒


; f^′′′(0) = - 1 ⇒


; f⁽⁴⁾(0) = 0 ⇒


; f⁽⁵⁾(0) = 1 ⇒


⇒

Allgemein:

(siehe oben)

da sinx bei allen geradzahligen Ableitungen an der Stelle x = 0 den Wert 0 hat folgt:

k! ^.
für k = 2z ; z
IN<sub>0


- bei allen Ableitungen von sinx mit k = 1 + 4z mit z
IN0 ist der Wert 1

für k = 1 + 4z ; z
IN0
- bei allen Ableitungen von sinx mit k = 3 + 4z mit z
IN0 ist der Wert - 1

für k = 3 + 4z ; z
IN0

⇒ Die gesuchte Polynomfunktion n - ten Grades heisst damit:



oder
mit n = 2k+1

Kurz:</sub>

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