Akustik

Inhaltsverzeichnis



1 Wellengleichungen 2

1.1 Herleitung der Wellengleichung in zwei Dimensionen 2

1.1.1 Schwingungen einer Membran 2

1.1.2 Zweidimensionale Wellengleichung 4

1.2 Herleitung der Wellengleichung in drei Dimensionen 4
(Wellengleichung in der Akustik)


2 Wellenarten 7

2.1 Ebene Wellen 7

2.2 Kugelwellen 7


3 Akustischer Stromkreis 8

3.1 Ersatzschaltung 8

3.2 Nah - und Fernfeld 9


4 Schallintensität (Schallstärke) 10


5 Literaturverzeichnis 11

Akustik

1 Wellengleichungen

1.1 Herleitung der Wellengleichung in zwei Dimensionen

1.1.1 Schwingungen einer Membran

w=w (x,y,t). .. Rückstellkraft der Membran in z - Richtung
q=q (x,y,t). .. auf der Membran lastende Druck in z - Richtung
T. .. Vorspannung (Kraft pro Längeneinheit)
µ. .. Massendichte (Masse pro Flächeneinheit)
c. .. Ausbreitungsgeschwindigkeit


















In der Gleichgewichtslage ruht die Membran in der x - y - Ebene, sie steht unter einer gleichmäßigen Vorspannung T. Die Rückstellkraft w (x,y,t) ist dabei nur durch die Vorspannung T gegeben. Bei einer Membran ist die Biegefestigkeit vernachlässigbar klein[1].

Für die Membran mit den Seitenlängen Δx und Δy gilt dann:

Kräftezerlegung:

(1)

durch Division durch ΔxΔy erhält man:

(2)


der Grenzübergang Δx→0, Δy→0 ergibt:

(3)


(4)


Erklärung des Rechenschrittes:

geg.:








Einführung von c:



Dimensionsbetrachtung:
_ü

(5)


Nabla - Operator:




Nabla² :



(6)



1.1.2 Zweidimensionale Wellengleichung

Die Gleichung (6) mit q (x,y,t)=0 wird als zweidimensionale Wellengleichung bezeichnet, sie ist die allgemeine Form der eindimensionalen Wellengleichung.







1.2 Herleitung der Wellengleichung in drei Dimensionen
(Wellengleichung in der Akustik)

p=p (x,y,z,t). .. Druck der Flüssigkeit
ρ=ρ (x,y,z,t). .. Dichte der Flüssigkeit

. .. Geschwindigkeit eines materiellen Punktes der Flüssigkeit (auch Schnelle)

. .. Beschleunigung eines materiellen Punktes der Flüssigkeit
Ψ=Ψ (x,y,z,t). .. Geschwindigkeitspotential (auch Schnellenpotential)

Zur Herleitung der Wellengleichung in drei Dimensionen wird eine Flüssigkeit betrachtet, die durch ihren Druck p=p (x,y,z,t) und ihrer Dichte ρ=ρ (x,y,z,t) charakterisiert sind. Es wird in idealisierter Form angenommen, dass die Flüssigkeit keine Schubspannungen zulässt und damit Impuls - und Massenerhaltung in dem geschlossenen System gelten.

Impulserhaltung:

(1)


Der Richtungsableitung der Maximaländerung (bzw. - Steigung) des Drucks p ist die negative Beschleunigung der Dichte.

mit



Die vektorielle Beschleunigung ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit eines materiellen Punktes in der Flüssigkeit.








Die konstanten Größen p₀ und ρ₀ entsprechen dem Ruhedruck bzw. der Ruhedichte, die zeitabhängigen Größen
(x,y,z,t) und
(x,y,z,t) entsprechen der im Normalfall deutlich kleineren Druckänderung bzw. Dichteänderung.

(2)


Der Ausdruck
(x,y,z,t) ist gegenüber ρ₀ vernachlässigbar klein, beim Differenzieren von p (Gradientenbildung) fällt das konstante p₀ weg, so dass man die linearisierte Form der Gleichung (1) erhält.

Massenerhaltung:

(3)


Die Divergenz der mit der Geschwindigkeit
behafteten Dichte ergibt eine Dichteänderung, welche definiert ist mit:













Die linearisierte Form der Gleichung (3) erhält man in Analogie zu (2):

(4)


Zusammenhang zwischen p und ρ:




Einführung von c:




Dimensionsbetrachtung:
_ü

Eingesetzt in (4):

(5)





Es wird das Geschwindigkeitspotential (bzw. - Schnellenpotential) Ψ eingeführt, welches in (5) eingesetzt wird:

(6)


woraus
(7)
folgt.

was wiederum in (4) eingesetzt auf folgendes führt:

(8)


Nabla Operator:







2 Wellenarten

2.1 Ebene Wellen

Die allgemeine Lösung für die obige Wellengleichung lautet:




wobei F₁ und F₂ Funktionen der Zeit sind (F₁= F₁(t), F₂= F₂(t)).
Physikalisch gesehen bedeutet diese Funktion folgendes:
Der erste Ausdruck
stellt eine Wellenbewegung in positiver x - Richtung dar. Der Wert dieses Ausdrucks ist für x=x₀ und t=0 gleich
, zu einer späteren Zeit t=t₁ wird x=x₀+ct₁, so dass der Funktionswert
wieder der selbe ist. D.h. die Störung mit dem Wert x₀ ist in der Zeit t₁ mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c nach x₀+ct₁ gewandert. F₂(x+ct) stellt eine in negativer x - Richtung fortschreitende Welle dar, die Ãœberlegung dafür sind analog zum ersten Summanden.
Der Verlauf der Funktionen F₁(t) und F₂(t) hängt von der Form der Druckstörung ab. Für den Fall, dass die Druckstörung durch eine sinusförmig schwingende Membran erregt wird (vgl. Bild), bekommt die Lösung die Form


an.






Die Sinuswelle mit der Amplitude k läuft in der positiven x - Richtung mit der Geschwindigkeit c. Die Welle ist eine Longitudinalwelle, die Teilchenverschiebung erfolgt in Fortpflanzungsrichtung.[2]







2.2 Kugelwellen

Ist sie Störungsstelle im Medium klein gegenüber der Wellenlänge[3], so handelt es sich um eine punktförmige Schallquelle, bei der sich die Druckstörungen kugelsymmetrisch ausbreiten.

Wellengleichung für Kugelwellen:



Die partikuläre Lösung hat die Form:








Die kugelförmige Ausbreitung, darstellbar durch kugelförmige Flächen konstanten Drucks (Isobare), verursacht eine Amplitude, die mit der Entfernung r um den Faktor ¹/_r abnimmt.
Allgemein kann man sagen, dass die meisten Schallquellen als Kugelstrahler anzusehen sind.


3 Akustischer Stromkreis

Der Schallwechseldruck p und die Schallschnelle v entspringen als Größen der kugelförmigen Wellenausbreitung ein und derselben Quelle. In Analogie zum Ohm’schen Gesetz kann man nun dem Schalldruck die Bedeutung einer Wechselspannung, der Schnelle diejenige eines Wechselstromes zuordnen. Als dritte Größe ist ein komplexer Strahlungswiderstand einzuführen, an den die Schallquelle ihre Srahlungsenergie in der Form von Wirk - und Blindleistung abgibt.


3.1 Ersatzschaltung

Für eine Kugelwelle um eine Schallquelle der Druckamplitude p₀ gilt:



















Die Gleichungen beschreiben eine sich in radialer Richtung ausbreitende Kugelwelle, bei der der Druck mit ¹/_r und die Schnelle mit ¹/_r²zur Entfernung abnehmen.

3.2 Nah - und Fernfeld

Die Schnelle v eilt im Nahbereich dem Schallwechseldruck p um den Phasenwinkel ϕ=arctan¹/_rk nach. In unmittelbarer Nähe der Schallquelle, d.h. r>>λ (Entfernung zur Schalquelle viel kleiner als Wellenlänge), ist der Realteil gegenüber dem Imaginärteil vernachlässigbar.

Außerhalb des Nahbereiches, wo sich Schallwechseldruck und - Schnelle nahezu ohne gegenseitige Phasenverschiebung ausbreiten (ϕ≈0), d.h. r<<λ, lässt sich der Imaginärteil gegenüber dem Realteil vernachlässigen. Es entsteht nur ein Wirkanteil, die Erregung pflanzt sich als ebene Welle fort, für welche dann wieder die Gleichungen in 2.1 gelten.


4 Schallintensität (Schallstärke)

Die bei fortlaufenden Schallwellen in 1 Sekunde durch eine zur Schallrichtung senkrechte Fläche von 1m²durchtretende Energiemenge nennt man Schallintensität, auch Schallstärke. Die Schallintensität
ist eine vektorielle Größe (im Gegensatz zum Schalldruck, der lediglich einen Skalar darstellt).








Der Mittelwert des mit der Geschwindigkeit
bewegten Schalldrucks p ergibt den Schalldruck
.
Bei sinusförmigen Signalverläufen kann die komplexe Schreibweise eingeführt werden, für den Fernbereich gilt dann:





Für eine bestimmte Richtung r:




















5 Literaturverzeichnis


Svoboda/Trieb, Physik, Band1 Oldenbourg Verlag Wien

F. Trendelenburg, Einführung in die Akustik, 3. Auflage, Springer Verlag

P. Hagedorn, Technische Schwingungslehre, Band 2, Springer Verlag

G. Schmidt, Akustik, C.Heymanns Verlag Berlin

D. Franz, Elektroakustik, Franzis Verlag, München
[1]Systeme, bei denen die Biegefestigkeit nicht vernachlässigbar klein sind, bezeichnet man als Platte.
[2]Konträr dazu sind Transversalwellen, bei denen die Teilchenverschiebung normal zur Fortpflanzungsrichtung erfolgt. Ein Beispiel dafür sind Wasserwellen.
[3]Die Wellenlänge ist als kürzeste Entfernung zwischen zwei Stellen, an denen gleicher Schwingungszustand herrscht (z.B.: Amplitudenmaxima), definiert. λ=^c/_f

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