Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonome)

Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonometrie)

sin²x + cos²x = 1 Trigonometrischer Pythagoras

sin²x²+ cos²x²= 1

Darstellung des Sinus mit Hilfe von anderen Winkeln

sin x = ± √(1 - cos²x)

tan x
sin x = ±
√(1 + tan²x)

1
sin x = ±
√(1 + cot²x)

tan x * cot x = 1

Darstellung des Kosinus mit Hilfe von anderen Winkeln

cos x = ± √(1 - sin²x)

1
cos x = ±
√(1 + tan²x)

cot x
cos x = ±
√(1 + cot²x)

Darstellung des Tangens mit Hilfe von anderen Winkeln

sin x
tan x = ±
√(1 - sin²x)

√(1 - cos²x)
tan x = ±
cos x

1
tan x = ±
cot x

Darstellung des Kotangens mit Hilfe von anderen Winkeln

√(1 - sin²x)
cot x = ±
sin x

cos x
cot x = ±
√(1 - cos²x)


1
cot x = ±
tan x




Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck

x:= alpha y:=beta


a
sin x = "Gegenkathete / Hypotenuse"
c

b
sin y = = cos x
c


b
cos x = "Ankathete / Hypotenuse"
c

a
cos y = = sin x
c


a
tan x = "Gegenkathete / Ankathete"
b

b
tan y = = cot x
a


b
cot x = "Ankathete / Gegenkathete"
a

a
cot y = = tan x
b



Komplementwinkelbeziehung


sin (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = sin x

tan (90° - x) = cot x

cot (90° - x) = tan x





Additionstheoreme


sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y

cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y

tan x + tan y
tan (x + y) =
1 - tan x * tan y

cot x * cot y - 1
cot (x + y) =
cot x + cot y

sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x

cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y

tan x - tan y
tan (x - y) =
1 + tan x * tan y

cot x * cot y + 1
cot (x - y) =
cot y - cot x


Funktionen des doppelten Winkels

2 tan x 1 + cot² x
sin 2x = sin (x + x) = 2 sin x * cos x = =
1+tan² x 2cot x
cos 2x = cos (x + x) = 1 - 2 sin²x = 2 cos²x - 1 = cos² x - sin²x

2 tan x
tan 2x =
1 - tan²x

cot²x - 1
cot 2x =
2 cot x


Extra: sin 3x = sin (x + 2x)

= sin x * cos 2x + cos x * sin 2x

= sin x(1 - 2 sin²x) + cos x * 2 sin x * cos x

= sin x - 2 sin³x + 2 sin x cos²x

= sin x - 2 sin³x + 2 sin x (1 - sin²x)

= 3 sin x - 4 sin³x





Funktionen des halben Winkels



x x x x
sin x = sin + = 2sin * cos
2 2 2 2



x x x x x x
cos x = cos + = 2cos² - 1 = cos²- sin²= cos²
2 2 2 2 2 2

x
- 1 - cos²
2


x √ 1 + cos x
cos = ±
2 2




x √ 1 - cos x
sin = ±
2 2



x √ 1 - cos x 1 - cos x
tan = ± =
2 1 + cos x sin x



x √ 1 + cos x Man beachte bei der folgenden Tabelle
cot = ± die Struktur der Radikanten, deswegen wurde
2 1 - cos x nicht gekürzt

		1/6 π	1/4π	1/3 π	1/2 π	π	3/2 π	2 π
x	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin x	1/2 √0	1/2 √1	1/2 √2	1/2 √3	1/2 √4	0	- 1	0
cos x	1/2 √4	1/2 √3	1/2 √2	1/2 √1	1/2 √0	- 1	0	1
tan x	√0/3	√3/3	√9/3	√27/3	n.d.	0	-	0
cot x	n.d.	3/√3	3/√9	3/√27	0	n.d.	0	n.d.

Umwandlung von Summen von Winkelfunktionen in Produkte


(I) sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y ¦ (I) + (II) = (III)

(III) sin (x + y) + sin (x - y) = 2 sin x * cos y


a = x + y (1')
b = x - y (2')

a + b = 2x

a + b
a =
2

a + b b - a
y = a - =
2 2

2a a + b 2a - a - b
- =
2 2 2


a + b b - a
sin a + sin b = 2 sin * cos
2 2


(I) sin (x + y) = sin x * cos y + sin y * cos x ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x ¦ (I) - (II)

a + b a - b
sin x - sin y = 2 cos * sin
2 2

sin (x + y)
tan x + tan y =
cos x * cos y

sin (x - y)
tan x - tan y =
cos x * cos y

sin (y + x)
cot x + cot y =
sin x * sin y

sin (y - x)
cot x - cot y =
sin x * sin y
x + y x - y
cos x + cos y = 2cos *cos
2 2
x + y x - y
cos x - cos y = - 2sin *sin
2 2
Quadrantenbeziehungen

I II III IV

x 180° - x 180° + x 360° - x


sin sin x sin x - sin x - sin x

cos cos x - cos x - cos x cos x

tan tan x - tan x tan x - tan x

cot cot x - cot x cot x - cot x



Sinussatz der ebenen Trigonometrie


Satz: In jedem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Sinus zweier Winkel gleich dem dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seiten.

x:= alpha y:= beta z:= gama R:= Radius des Umkreises


a b c
= = = 2 R
sin x sin y sin z


Der Kosinussatz

In jedem ebenen Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des (von diesen Seiten) eingeschlossenen Winkels.


c² = a² + b² - 2ab * cos z

a² = b² + c² - 2bc * cos x

b² = a² + c² - 2bc * cos y

Kosinusformeln

a = b cos z + c cos y

b = a cos z + b cos x Projektionssatz

c = a cos y + b cos x

Tangensformeln

a sin y
tan x =
c - a cos y

a sin z
tan x =
b - a cos z

b sin z
tan y =
a - b cos z

b sin x
tan y =
c - b cos x


c sin y
tan z =
a - c cos y

c sin x
tan z =
b - c cos x

Mollweidsche Formeln (Karl Mollweide 1744 - 1825, Mathemat. u Astronom)

x y - z
(b + c) * sin = a cos
2 2

y z - x
(a + c) * sin = b cos
2 2

z x - y
(a + b) * sin = c cos
2 2

x y - z
(b - c) * cos = a sin
2 2

y z - x
(c - a) * cos = b sin
2 2

z x - y
(a - b) * cos = c sin
2 2

Nepersche Gleichungen (J.Neper engl. Mathemat. 1550 - 1617)

x + y
a + b tan
2
=
x - y
a - b tan
2

y + z
b + c tan
2
=
y - x
b - c tan
2

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