Vektorrechnung unter besonderer Berücksichtigung d

Vektorrechnung unter besonderer Berücksichtigung der Darstellungsmöglichkeiten eines Computer - Algebrasystems

Grundlagen der Vektorrechnung - Projektion? VEKTORPFEILE!! Beweise, Formeln Vorgangsweise bei Erstellung eines Moduls - Struktogramm Vektorrechnung am Dreieck R² - Modul R³ - Modul + Isometrics Bsps + Tests

Grundlagen der Vektorrechnung:

Definition eines Vektors (Pfeils):
Die Menge aller Pfeile mit derselben Richtung, derselben Orientierung und derselben Länge bildet einen Vektor der Ebene bzw. des Raumes.

Geht ein Vektor von einem Punkt aus, so ist seine Position im Koordinatensystem eindeutig festgelegt.

Grundbegriffe:

Ein Vektor wird durch ein Tupel definiert
Ein Tupel ist die geordnete Zusammenfassung von Zahlen, die eine fixe Reihenfolge besitzen. Jede Zahl steht für die Ausdehnung des Vektors in die jeweilige Richtung.
z.B. Die erste Zahl gibt die Ausdehnung Vektors auf der x - Achse des Koordinatensystems an.

n - Tupel: geordnete Zusammenfassung von n - Zahlen
Paar: zweidimensionaler Vektor, auf einer Ebene
Tripel: dreidimensionaler Vektor, im Raum



y



x

Rechenregeln:
*) Addition / Subtraktion *) Multiplikation / Division




Skalares Produkt:



Bezeichnung: "Skalares Produkt der Vektoren A und B."
Das skalare Produkt zweier Vektoren ergibt immer eine Zahl.

Wenn
dann beträgt der Winkel zwischen A und B 90°

Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt:


gesucht: Vektor, der zu und normal ist.





wir definieren und erhalten 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten







Herausheben von n1 und t:










Substitution:





Festlegung:


Länge eines Vektors:

Die Länge eines Vektors wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet.



y



x


Winkel zwischen 2 Vektoren:

gesucht: Winkel zwischen den Vektoren und
Dabei wird der Cosinussatz angewendet.









Mittelpunkt einer Strecke:






Normalvektorform:











Beweis der Behaupung:








Flächeninhalt eines Dreiecks bzw. Parallelogramms:












Vorbedingungen:

*) *)



*) *)



Herleitung des Flächeninhaltes:





Einheitsvektor:

Um die Länge eines Vektors auf 1 zu verändern, muss man ihn durch seine

Länge, sprich seinen Betrag, dividieren:



Normalprojektion:

Man projeziert den Vektor b auf den Vektor a und erhält den Vektor b^|.











Will man nun b^|als Vektor, muss man mit Hilfe des Einheitsvektors die Länge von a an die

Länge von b^|angleichen. Der erhaltene Vektor ist b^|:

Parameterdarstellung:

Vektorrechnung im R² - siehe UVEKTR2.MTH:

Die Gerade:

Geraden können in Bezug auf die Vektorrechnung mittels 2er Techniken definiert werden.

Normalvektordarstellung:

hier wird zur Aufstellung der Gerade ein Punkt und ein Vektor normal zur Gerade benötigt. Die Formel hierzu lautet:


Die expandierte Gleichung sieht dann so aus:

Man kann noch immer die Ausdehnung des Normalvektors ablesen.

Parameterdarstellung:

hier wird zur Aufstellung der Gerade ein Punkt und deren Richtungsvektor benötigt. Die Formel hierzu lautet:

Der Parameter t definiert die Punkte, die von dem Ausgangspunkt P den t*g - ten Abstand haben. Da t variabel ist, entsteht eine Gerade.


Lagebeziehungen 2er Geraden:

gegeben: 2 Geraden:




Es gibt 3 Möglichkeiten der Lage der Geraden zueinander:

Es existert ein Schnittpunkt:

g und h sind parallell:

g und h sind ident:

Der Kreis:

Der Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M denselben Abstand haben.











Lagebeziehungen von Kreis und Gerade:

Passante:

Tangente:

Sekante:

Lagebeziehungen 2er Kreise:

k1 und k2 berühren sich nicht:

k1 und k2 berühren sich von außen:

k1 schneidet k2 und umgekehrt:

k2 berührt k1 von innen:

k2 liegt zur Gänze innerhalb von k1, kein Berührungspunkt:

Die Tangentengleichung:

Berechnungen am Dreieck:

Schwerpunkt:












Höhenschnittpunkt:











Inkreismittelpunkt:











Umkreismittelpunkt:













Ankreismittelpunkt:













Gergonnesche Punkt:











Nagelsche Punkt:










Eulersche Gerade:

Geht durch den Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und den Schwerpunkt.

Vektorrechnung im R³- UVEKTR3.MTH:

Im 3 - dimensionalen Raum werden Geraden nur mehr in Parameterform dargestellt. Ebenen hingegen in Parameterform und Normalvektorform.

Parameterform einer Ebene:

3D - Darstellungen - U3D.MTH:

Darstellung einer Ebene im 3D - Fenster von Derive:

Im 3D - Fenster können Ebenen nur in Normalvektorform dargestellt werden. Weiters muss der Term explizit sein d.h. man drückt die z - Koordinate durch die x und die y - Koordinate aus. Im Klartext: Man löst die Gleichung nach z.
Dann kann man die Ebene im 3D - Fenster zeichnen.

Darstellung von Geraden, Vektoren, Ebenen im 2D - Fenster - Isometric(s):
UISOMET.MTH

Zur Verwendung der ISOMETRIC(S) und anderer dazugehöriger Module ist es notwendig das Utility - File GRAPHICS.MTH entweder im Hintergrund (Transfer/Load/Utility) oder offen (Transfer/Load/Derive) zu laden. Es beinhaltet alle, zur Darstellung 3 - dimensionaler Objekte im 2D - Fenster, benötigten Funktionen.

Diese nehmen eine isometrische Projektion vor. Die Ausdehnung eines 3 - dimensionalen Objektes wird auf 2 Dimensionen heruntergerechnet, dabei sind alle 3 verwendeten Verzerrungsfaktoren gleich.

Zeichnen der Koordinatenachsen - axes:

Die Funktion axes definiert 3 Geraden, die die Achsen darstellen und sich beliebig lange zeichnen lassen.

Die Funktion ISOMETRIC(v):

kann zur Projektion eines einparametrigen Vektors verwendet werden. Die 3 Koordinaten des 3 - dimensionalen Vektors werden auf 2D umgerechnet.

Die Funktion ISOMETRICS(e, t, t0, tn ,n, s, s0, sm, m):

nimmt eine Projektion einer Ebene in Parameterform vor. Zur Darstellung ist die Voreinstellung Option/State/Connected zu empfehlen.
ISOMETRICS erstellt eine 2 - dimensionale Matrix eines Ausschnittes der tatsächlichen Ebene.

Bsp:
Die Ebenenfunktion:
























Durch Vertauschung der beiden Parameter kann man die Linien in entgegengesetzter Richtung zeichnen. Dadurch wird eine perfektere Ebenendarstellung möglich.

Kugel:

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, die von einem Punkt denselbem Abstand haben.

b) Lagebeziehungen:

Lagebeziehungen von Geraden im R³:

Schnittpunkt: 2) Parallel:

3) ident: 4) windschief:



Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade:

1) Schnittpunkt:

Parallel:

g liegt auf E:

Lagebeziehungen zwischen 2 Ebenen:

Schnittgerade:

parallel:

ident:

Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen:

Stapel - Form:

Z - Form:

Dach - Form:

Mühlrad - Form:

Schnittpunkt:

c) Abstandsberechnungen im R³:

Abstand eines Punktes von einer Geraden:

Abstand eines Punktes von einer Ebene:

Abstand einer Geraden von einer Ebene:

Voraussetzung: g muss parallel zu E sein

Abstand 2er Ebenen:

Voraussetzung: E1 muss zu E2 parallel sein

Abstand 2er windschiefer Geraden:

5) Allgemeine Vorgangsweise bei der Erstellung eines Moduls:

Um alle Fälle, die bei manchen Problemem auftreten, in einem Modul berücksichtigen zu können, muss zwischen ihnen unterschieden und der jeweilige Lösungsweg verwendet werden. Diese Abfrage über nimmt der IF - Befehl, der folgende Struktur hat:

IF Bedingung 1
THEN	ELSE	UNKNOWN
	IF Bedingung 2
THEN	ELSE	UNKNOWN

Syntax: IF( THEN, IF(THEN, ELSE, UNKNOWN), UNKNOWN)

Die obige Darstellung zeigt eine 2 - fach verschachtelte IF - Bedingung. Wird die in der ersten IF - Anfrage benötigte Bedingung erfüllt, dann wird der Befehl im THEN - Zweig ausgeführt. Ist das nicht der Fall, wird auf den ELSE - Zweig zugegriffen die dortige Aufgabe gestartet. In unserem Fall ist das eine erneute IF - Bedingung, die nach demselben Schema funktioniert wie die übergeordnete.
Jede der beiden hat zusätzlich noch einen UNKNOWN - Zweig zur Verfügung, der dann ausgeführt wird, wenn syntaktische oder andere undefinierte Probleme beim Ablauf des Programms auftreten, wie z.B. die versehendliche Eingabe von Text anstatt einer konkreten Zahl.
Mit diesem Schachtel - Schema können vielschichtige Probleme beliebig genau aufgespaltet und differenziert behandelt werden.

1123 Worte in "deutsch"  als "hilfreich"  bewertet