Akustik

Einleitung

Die Akustik ("akuo" griechisch für "ich höre") ist laut dem Schülerduden "Die Physik" die Lehre vom Schall und Teilgebiet der Mechanik. Sie befasst sich mit mechanischen Schwingungen im Frequenzbereich zwischen 16 Hz, die als untere Hörgrenze gilt, und 20.000 Hz als obere Hörgrenze. Dabei breitet sich der Schall in einem elastischen Medium wellenförmig aus und ruft im menschlichen Gehör einen Schalldruck hervor.

Infraschall und Ultraschall (unter 16 Hz und über 20.000 Hz) werden hier nicht behandelt, da sie vom Ohr nicht wahrgenommen werden können und somit für die Musik uninteressant sind.

Doch diese Facharbeit soll nicht nur trockene physikalische Aspekte der Akustik behandeln, sondern vor allem die Akustik aus dem Blickwinkel der Musik darstellen. Denn gerade die Musik ist eine Ansammlung der verschiedensten Formen von Akustik und anderen Wissenschaften.

Schon die Wissenschaftler der Antike hatten Theorien über die musikalischen Intervalle und ihre physikalischen Gesetzmäßigkeiten. Doch obwohl Musikinstrumente akustischen Gesetzen unterliegen, gaben die Instrumentenbauer nicht bewusst diese Gesetze von Generation zu Generation weiter, sondern nur einfache Bauregeln. Doch diese, so wissen wir heute, waren allesamt akustische Optimierungen.

Und was wäre eine Welt ohne Musik, ohne die unerschöpfliche Breite und Vielfalt von Klassik bis Pop, ohne die Möglichkeit, Gefühl oder eigentlich optische Dinge, wie Landschaften, durch eine Art von Kunst auszudrücken? Anders noch und viel intensiver als bei den übrigen Künsten ist in der Musik die Gesetzmäßigkeit ein Bestandteil ihres Wesens. Deshalb kommt auch der Akustik im Rahmen der Musik eine viel größere Bedeutung zu als etwa der Optik in der Malerei.

In dieser Facharbeit soll nun dargestellt werden, welche Gesetze der Schwingungslehre an Musikinstrumenten wirken, um so deren Funktionsweise besser verstehen zu können. Dabei kommen vor allem ein Oszilloskop, mit dem der zeitliche Druckverlauf der Schallwelle verdeutlicht wird, und ein Spektrumanalyser, mit dem alle Eigenfrequenzen eines Klanges angezeigt werden, zum Einsatz.

Grundlagen

Allgemeine Schwingungslehre

Im alltäglichen Leben erlebt man immer wieder, dass sich Vorgänge ständig wiederholen und in regelmäßigen zeitlichen und räumlichen Abständen gleiche Zustände durchlaufen (z.B. Pendeluhr, Schaukel). Diesen periodischen Prozess nennt man Schwingung.

Um Schwingungen zu beschreiben und mathematisch erfassen zu können, werden die benötigten physikalischen Größen angeführt:

Die Periodendauer T ist die zeitliche Dauer einer vollen Schwingung, d.h. sie beschreibt die Zeitdauer zwischen zwei aufeinander folgenden gleichen Schwingungszuständen.
Daher ist die Periodendauer T der Quotient aus der Zeit t für n volle Schwingungen und dieser Anzahl n:
T=t/n
Die Einheit ist [T]=1 sec. Die Frequenz ist der Quotient aus der Anzahl von n Schwingungen und der dazu benötigten Zeit t:
f=n/t
Die Einheit ist [f]=1 sec EE-1=1 Hz.
Daraus folgt: T=1/f. Die Elongation y gibt die Strecke an, um den sich der schwingende Massenpunkt aus der Ruhelage entfernt hat. Sie ändert sich ständig und ist eine Funktion der Zeit:
y=y(t)
Die Einheit ist [y]=1 m. Die Amplitude A ist die größte Elongation einer Schwingung. Auch sie gibt die Entfernung zwischen Ruhelage und Umkehrpunkt an.

Von großer Bedeutung ist die harmonische Schwingung (Sinusschwingung), aus der sich alle anderen Schwingungsformen durch Überlagerung darstellen lassen. Dabei ist eine Sinusschwingung die orthogonale Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine parallel zur Rotationsachse liegenden Ebene.

Schall

Allgemeines

Der Ton, der die Musik macht, entsteht durch Schwingungen eines elastischen Körpers, der fest (z.B. Violinensaite, Trommelfell) oder gasförmig (z.B. Luftsäule einer Pfeife) sein kann. Feste Körper müssen in einen Spannungszustand versetzt werden und streben dann wieder in ihre Ruhelage zurück. Durch äußere Anstöße, wie Berühren der Saite oder Anblasen der Pfeife, gerät der Körper in Schwingungen, welche sich kugelförmig um den Körper ausbreiten. Dabei werden die Moleküle der Umgebung zu Schwingungen angeregt.

Bei 440 periodischen Schwingungen in der Sekunde und 20 Grad Celsius spricht man vom Kammerton a'. Sobald die Schwingungen nicht periodisch sind, also für die Musik uninteressant, spricht man nicht mehr von einem Ton, sondern von einem Geräusch.

Wie man später sehen wird, liefert die Elongation-Zeit-Funktion eines Tones eine Sinuskurve. Dieser Ton ist ohne jegliche Obertöne und kommt in der Musik normalerweise nicht vor, da bei den meisten Instrumenten noch bestimmte Schwingungen über dem Grundton mitschwingen (Oberschwingungen), die erst den charakteristischen Klang eines Instrumentes ausmachen. Diese Oberschwingungen werden nicht bewußt wahrgenommen, weil sie höher als Haupt- oder Grundton klingen und meistens nicht in der Intensität des Grundtones vorliegen. Außerdem sind diese Obertöne normalerweise ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz und werden deshalb als Harmonische bezeichnet.

Der Klang, der bereits angesprochen wurde, bezeichnet einen Ton, bei dem die zuvor erläuterten Oberschwingungen vorhanden sind. Sobald ein Musiker jedoch von einem gespielten Ton spricht, meint er physikalisch einen Klang.

Der Klang ist also eine Überlagerung mehrerer periodischer Schwingungen, also Töne, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache eines Grundtones sind.

Um zu erklären, wie die Schwingungen von einem elastischen Körper auf die Umgebung übertragen und somit hörbar gemacht werden, untersuchen wir eine Stimmgabel.

Stimmgabel

Eine Stimmgabel, die frei von Obertönen schwingt, kann man sich als U-förmigen Stab vorstellen, an dessen Grund der Biegung ein Stiel befestigt ist. Nach dem Anschlagen eines Stabendes bewegen sich beide Zinken aufeinander zu und entfernen sich im nächsten Moment wieder. Währenddessen hebt und senkt sich bei vertikaler Stellung der Stimmgabel das zwischen den Knotenstellen liegende Stück mit dem daran befindlichen Stiel.

Wenn die Zinken nach außen schwingen, erzeugen sie in der umgebenden Luft vor sich eine Verdichtung, während zwischen den Zinken eine Verdünnung auftritt. Sobald die Zinken ihre Richtung ändern, wechseln auch Verdichtung und Verdünnung. Durch diese Wechselwirkung gerät die Luft in Schwingung und ein Ton wird hörbar.

Da man Töne mit Hilfe eines Oszillographen sichtbar machen kann, wird die Schreibspur einer schwingenden Zinke mit der Zeitfunktion einer 128 Hz-Stimmgabel verglichen. Diese hat wegen ihres relativ tiefen Tones lange Zinken und führt deshalb besonders große Bewegungen an der Zinkenspitze aus.

Die Zinke, an deren Ende nochmals eine dünne, spitze Feder befestigt ist, wird während des Schwingvorganges über eine berußte Glasplatte gezogen. Dadurch wird das Schwingverhalten der Stimmgabelzinke sichtbar.

Mit Hilfe eines Oszillographen (Computer-Programm "audio-T") wird über ein Mikrophon der Druckverlauf und somit der Ton zeitlich analysiert.

Man erkennt eine verblüffende Übereinstimmung der beiden Bilder, die jeweils eine Sinusschwingung zeigen. Dadurch wird deutlich, dass die vom Körper vollzogenen Bewegungen an die Umgebung übertragen werden und sich so im Schallsignal wieder finden.

Damit der Schall transportiert werden kann, ist jedoch eine Welle notwendig.

Schallwellen

Allgemeines

Die Schallwelle ist ein räumlicher und zeitlicher Vorgang, bei dem Energie, hier der Schall, transportiert wird. Für die Beschreibung der Welle sind die folgenden Begriffe notwendig:

Die Wellenlänge W ist der kürzeste Abstand zweier Oszillatoren (als Massenpunkt vorstellbar), die in gleicher Phase (Ruhelage wird zur selben Zeit erreicht) schwingen. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c ist vom Medium und dessen Temperatur abhängig, in dem sich die Welle bewegt (in Luft circa 340 Meter pro Sekunde) und wird nach der Formel c=f*W berechnet. Bei einer Longitudinalwelle verläuft die Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung (für die Musik nicht von Bedeutung). Bei einer Transversalwelle schwingen die Oszillatoren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Stehende Wellen

Die stehende Welle nimmt in der Musik einen ganz besonderen Stellenwert ein, da ein Ton nur durch sie entstehen kann. Dabei wird das Musikinstrument in Eigenschwingungen versetzt, wenn die Schallwelle bei geeigneter Länge reflektiert wird und so hin- und rücklaufende Welle interferieren und die resultierende Welle Punkte besitzt, die ständig in Ruhe bleiben. Es gibt also Stellen, an denen die Auslenkung null ist - Schwingungsknoten. Die Stellen mit maximaler Amplitude werden als Schwingungsbäuche bezeichnet. Knoten und Bäuche bleiben aber immer an der gleichen Position, wodurch die stehende Welle ihren Namen hat. Zwischen zwei benachbarten Knoten schwingen die Oszillatoren mit unterschiedlicher Amplitude aber in gleicher Phase.

Der Verlauf einer solchen Welle ist von den Randbedingungen abhängig, d.h. ob gleiche (fest - fest bzw. offen - offen) oder gemischte Randbedingungen (fest - lose bzw. offen - geschlossen). Es ist aber nicht von Bedeutung, ob die Schwingungen an festen oder gasförmigen Körpern vorliegen.

Um das Schwingverhalten der stehenden Welle zu verdeutlichen, stellt man sich ein einseitig geschlossenes Glasrohr und ein beidseitig offenes Glasrohr als Musikinstrumentenersatz vor.

Die mit bestimmten Frequenzen zu Eigenschwingungen angeregte Luftsäule in einer einseitig geschlossenen Röhre hat am offenen Ende einen Schwingungsbauch und am geschlossenen Ende einen Schwingungsknoten. Bei der Grundfrequenz ist die Säulenlänge gleich einem Viertel der Wellenlänge dieser Frequenz. Wird die nächst höhere Eigenschwingung angeregt, so ist die Säulenlänge gleich drei Viertel der Wellenlänge.

Daraus lässt sich die Formel für die stehende Welle mit gemischten Randbedingungen herleiten:

l=Wn/4 + n(Wn/2) => Wn=4l/2n+1

fn=c/Wn

=> fn=(2n+1)c/4l mit n=0,1,2,3... (Ordnungszahl der Eigenschwingungen)

Die zu Eigenschwingungen angeregte Luftsäule in einer beidseitig offenen Röhre hat an ihren Enden Schwingungsbäuche. Die Säulenlänge ist bei der Grundfrequenz die halbe Wellenlänge, da genau in der Mitte der Röhre ein Knoten vorliegt. Bei jeder weiteren Eigenfrequenz kommt eine halbe Wellenlänge der anregenden Frequenz dazu.

Auch daraus lässt sich die Formel für stehende Wellen mit gleichen Randbedingungen herleiten:

l=Wn/2+n(Wn/2) => Wn=2l/n+1

fn=c/Wn

=> fn=(n+1)c/2l mit n=0,1,2,3... (Ordnungszahl der Eigenschwingungen)

Die oben ermittelten Formeln werden bei fast allen Musikinstrumenten zur Beschreibung der Tonentstehung benötigt. Sie geben außerdem Aufschluss darüber, ob die Eigenfrequenzen ungeradzahlige Vielfache (gem. Randbedingungen) oder ganzzahlige Vielfache (gleiche Randbedingungen) der Grundfrequenz sind.

Akustik in der Musik

Geschichte

Der Drang zur musikalischen Betätigung ist schon uralt. Dabei erstreckte sich diese Betätigung von vornherein nicht nur auf das natürlichste musikalische Ausdrucksmittel, den Gesang, sondern führte schon bald zum Bau von Musikinstrumenten. Diese werden seitdem zur Unterhaltung, für zeremonielle oder medizinisch-therapeutische Zwecke gespielt. Die ältesten Instrumente, die man durch archäologische Funde kennt, sind Schlaginstrumente, wie Klappern. Knochenflöten sind seit der Altsteinzeit bekannt und in der Jungsteinzeit kannte man schon Saiten- und Membraninstrumente. Damit waren schon damals alle Instrumententypen, die wir heute auch kennen (bis auf elektrische), vorhanden. Es gab eine Art Xylophon, einfellige Trommeln, Flöten mit und ohne Grifflöcher und den Musikbogen, bestehend aus einer gespannten Saite.

Für die Hochkulturen der Antike gibt es verlässliche Belege über Musikinstrumente und Musikverständnis. Während der griechischen Antike wurden besonders gern Saiteninstrumente gespielt, die dem Gott Apollon zugeordnet waren und zur edleren und gesitteteren Unterhaltung dienten. Blasinstrumente, wie der Aulos, spielten eine untergeordnete Rolle. Dies änderte sich bei den Etruskern. Bei ihnen wurden die Blasinstrumente bevorzugt und auch neue entwickelt.

Schon Pythagoras meinte, dass überall in der Natur Maß und Ordnung herrsche, was auch sein Leitsatz "alles ist Zahl und Harmonie" bekräftigt. Er stellte schon damals die Pythagoreischen Gesetze der Saitenschwingungen auf, die im Kapitel "Schwingende Saiten". behandelt werden.

Die Römer übernahmen einige etruskische und afrikanische Instrumente. Auch die Orgel gewinnt unter den Römern erst ihre große Bedeutung.

Im Mittelalter wurden zunächst Harfen, Hörner und Leiern gespielt, die vermutlich keltischer und etruskischer Abstammung waren. Später kamen als Folge der Kreuzzüge auch Orgeln, Fiedeln, Rebecen, Schalmeien und Trompeten in unsere Kultur.

Durch einen enormen Entwicklungsschub in der Spätrenaissance bildeten sich eine Vielfalt von Musikinstrumenten heraus. Als verbesserte Werkzeuge für die Metall- und Holzbearbeitung entstanden waren, konnten auch die Blasinstrumente zu ganzen Stimmfamilien mit Sopran, Alt, Tenor und Bass ausgedehnt werden.

Der Wolfenbütteler Hofkapellmeister Michael Praetorius erwähnte schon damals die Probleme der Temperaturschwankungen bei Blasinstrumenten und der allgemeinen Schwierigkeit des Zusammenspiels, da es weder eine Normtonhöhe gab, noch die Möglichkeit, die aus einem Stück bestehenden Instrumente zu stimmen. Deshalb war Praetorius auch einer der ersten, der vorschlug, Blockflöten aus mehreren zusammensetzbaren Teilen zu fertigen.

Auch die Anfänge der modernen Akustik sind während der Renaissance zu finden. So beschrieb Galileo Galilei den Zusammenhang zwischen Tonhöhe einer Saite und Schwingungszahl, sowie die Antiproportionalität von Frequenz zur Saitenlänge. Es wurden mathematische Gesetze gesucht und gefunden, das Prinzip der Obertöne wurde entdeckt und auch die Schallgeschwindigkeit wurde erstmals gemessen (jedoch etwas ungenau). So wurden auch Bücher, wie die "Harmonie universelle" von Marin Mersenne über Akustik und Musikinstrumente verfasst.

Durch sie hat man auch erkannt, dass die Instrumentenfamilien wieder kleiner wurden. Zum Barock hin wurden vor allen Dingen die Streichinstrumentenfamilie gespielt, die zu orchesterfähigen Instrumenten ausgebaut wurde, um dem Anspruch an Tonumfang und Dynamik gerecht zu werden.

Wie und wo die Tonlöcher bei den Blasinstrumenten liegen sollten, waren damals meist Proportionierungsregeln, wie dem Goldenen Schnitt oder Kreis und Quadrat als Ausgangsfiguren, unterlegen. So konnte man auch dem Verlangen nach einem wohlproportioniertem Äußeren gerecht werden.

Später setzte sich zwar ein subjektiveres Empfinden nach ästhetisch-künstlerischen Gesichtspunkten durch, doch dies brachte meist keine besonderen Neuerungen mehr mit sich.

Der französische Mathematiker Fourier stellte zu Beginn des 19. Jahrhundert fest, dass jede beliebige periodische Schwingungskurve aus einer Überlagerung von einfachen Sinusschwingungen zusammengesetzt ist, deren Schwingungszahlen ein-, zwei- bzw. n-mal so groß sind wie die tiefste Frequenz der gegebenen Schwingung (Grundschwingung).

Die Grundlagenwissenschaft der Akustik drang nur selten bis zu den praktischen Anwendungen durch. Selbst für Hermann von Helmholtz, der in der Akustik des 19. Jahrhunderts dominierte, war die praktische Anwendung im Instrumentenbau nicht von primärem Interesse. Helmholtz legte auf exakte Lösungen der bis dahin zweifelhaften Fragen großen Wert und hat die mathematischen Grundlagen zur Berechnung von Saitenschwingungen, Luftsäulen usw. geschaffen.

Seit Helmholtz hat die Akustik bis auf die Einführung elektrischer Methoden, besonders durch die Verstärkertechnik der Elektronenröhre, wenig Neues zu bieten.

Tonsysteme

Das subjektive Empfinden der Menschen bezeichnet zwei verschiedene, jedoch gleichzeitig ans Ohr gelangende Töne mal als angenehmen, harmonischen Wohlklang (Konsonanz), oder aber als unangenehmen, gar schmerzenden Klang (Dissonanz). Diese Empfindung von Konsonanz und Dissonanz zweier Töne hängt nicht von den absoluten Werten derselben ab, sondern von ihrem Verhältnis zueinander. Ein solches Schwingungsverhältnis bezeichnet man als Tonstufe oder Intervall, die in der Musik spezielle Bezeichnungen haben:

Bezeichnung des Intervalls	Beispiel zwischen den Tonabständen	Bezeichnung des Zusammenklanges
Prime	c - c	Konsonanz
Sekunde	c - d	Dissonanz
Kleine Terz	c - es	Konsonanz
Große Terz	c - e	Konsonanz
Quarte	c - f	Konsonanz
Quinte	c -g	Konsonanz
Kleine Sexte	c - as	Dissonanz
Große Sexte	c - a	Konsonanz
Kleine Septime	c - b	Dissonanz
Große Septime	c - h	Dissonanz
Oktave	c - c	Konsonanz

Im Laufe der Zeit haben sich die Empfindungen jedoch auch geändert. So wurden einst die Große Sexte und sogar die Große Terz und die Quarte den dissonanten Verhältnissen zugeordnet, die für die Menschen der westlichen Welt heute keine unangenehmen Apperzeptionen hervorrufen.

Darüber hinaus sind andere Zusammenklänge von Tönen jedoch wichtiger - die Akkorde, d.h. Zusammenklänge mit mehr als zwei Tönen. Am weitesten verbreitet sind in unserer klassischen und volkstümlichen Musik die Dreiklänge, die ebenfalls verschiedene Bezeichnungen haben:

Dur: c - e - g

Moll: c - es - g

Diese Akkorde können in ihrer Tonanordnung noch verändert werden, so dass auch eine andere Kombination wie etwa e - g - c zustande kommt. Dennoch ist dies ein Dur-Dreiklang.

Der Jazz hat den so genannten Vierklang mit einer zugefügten Septime, also wieder eine zugefügte Terz über der Quinte, in der modernen Rock- und Popmusik, aber auch in zeitgenössischen Orchesterwerken, "salonfähig" gemacht.

Schon Hermann von Helmholtz vermutete, dass die Empfindung von Konsonanz oder Dissonanz im wesentlichen von der Zahl der Schwebungen abhängen, die beide Klänge beim Zusammenspiel ergeben.

Eine Schwebung bei fast gleichen Stimmgabeln wird dadurch deutlich, dass die Frequenz der ersten Stimmgabel einen geringen Unterschied zur Frequenz der zweiten Stimmgabel aufweist und durch periodisches An- und Abschwellen der Tonstärke hörbar wird.

Die Schwebungsfrequenz fs ist der Betrag der Differenz der Schwingungen f1=440 Hz und f2=415 Hz. Daraus resultiert fs=25 Hz, die in Abb. 1 als Einhüllende sichtbar wird.

In der Musik sind jedoch meist die Schwebungen der Obertöne besonders störend, da die Instrumente nur auf einen bestimmten Ton gestimmt werden können, die Instrumente in sich aber nicht stimmig sind. Liegt die Schwebungsfrequenz fs=|f1-f2| oberhalb 4 und unterhalb 132 Schwingungen pro Sekunde, so bewirkt der Zusammenklang eine gewisse Rauhigkeit, etwas Schwirrendes, das unsere Empfindung im Ohr stört.

Eine Reihe von Tönen - geordnet nach ihrer Höhe - innerhalb einer Oktave wird Tonleiter genannt. Die Auswahl der Tonstufen einer Tonleiter kann von ganz verschiedenen Gesichtspunkten her erfolgen und ist von Volk zu Volk und Epoche zu Epoche verschieden. Als die Musik noch homophon war, bestand die gesungene Melodie aus einfachen Tönen mit verschiedenen Höhen. Es entstand beispielsweise eine Tonleiter

c - f - g - c' aus dem Grundton c und der Quinte, die einmal vom Grundton aufwärts gemessen wurde und einmal von der Oktave des Grundtones abwärts.

Um unsere heutige natürliche diatonische Tonleiter c - d - e - f - g - a - h zu erhalten, ging man von Dur-Dreiklängen aus und fügte einem Grundton (hier c) nach unten und oben je zwei weitere Töne hinzu, so dass diese mit ihren Nachbartönen wieder einen Dreiklang bilden konnten. Diese Töne lagen zwar nicht alle in einer Oktave, wurden aber durch Erhöhung oder

Erniedrigung um eine Oktave in diese gelegt. Diese Töne wurden mathematisch nach ihren Verhältnissen berechnet.

Um flexibler beim Spielen einer Melodie zu sein, wurde jeweils zwischen zwei Tönen ein so genannter Halbton gesetzt (Ausnahme zwischen e - f und h - c'). So entstand die chromatische Tonleiter, wobei die Zwischentöne durch Multiplikation von 25/24 (Erhöhung) bzw. 24/25 (Erniedrigung) mit dem Ganztonverhältnis entstanden. Eine nähere Betrachtung der mathematischen Beschreibung der Verhältnisse ist hier nicht von Bedeutung.

Wenn man die entstandenen Verhältnisse dennoch vergleicht, erkennt man, dass z.B. die Töne cis und des nicht dieselbe Frequenz haben, obwohl dies im alltäglichen Musikalltag der Fall ist, weil die Musikinstrumente darin keinen Unterschied machen. Die Zwischentöne sind im Alltag also nur Mittelwerte, wodurch beispielsweise die Töne gis und as gleich sind und als enharmonische Verwechslung bezeichnet werden.

Beim Klavier ist man noch weiter gegangen und hat die so genannte "temperierte Stimmung" eingefügt, die aber erst im entsprechenden Kapitel behandelt wird.

Durch diese verschiedenartigen Stimmungen und leichten Verschiebungen der Töne können die Oberfrequenzen im Zusammenspiel ungewollte Schwebungen hervorrufen und sich so beim Musizieren störend auswirken.

Um das gemeinsame Musizieren trotzdem möglichst harmonisch zu gestalten, wurde ein allgemein gültiger Grundton auf internationaler Ebene vereinbart. Man hat daher den der mittleren Stimmlage der menschlichen Stimme entsprechenden Ton a' mit 440 Hz als Normalton oder Kammerton gewählt, wobei dieser mit der Zeit immer höher wurde und wird. Früher lag er bei 435 Hz und wird mittlerweile in Orchestern oft mit 442 Hz gespielt.

Musikinstrumente

Saiteninstrumente

Allgemeines

Die Familie der Violinen, ein typisches Saiteninstrument, kam während der Renaissance in Italien auf. Ihre Vorläufer waren einfache mittelalterliche Instrumente wie die Rebec oder die Laute. Die Kunst des Geigenbaus gelangte im 17. und 18. Jahrhunderts unter Antonio Stradivari und Guiseppe Guarneri zu einer Hochblüte, nach der die Instrumentenfamilie kaum Neuerungen erhielt.

Violine, Viola und Cello bestehen im wesentlichen aus einem von kleinen Öffnungen durchbrochenen hölzernen Kasten, der ein Luftvolumen umschließt. An diesen Kasten schließt sich ein Hals an, um Saiten, die länger als der Kasten sind, befestigen zu können. Wenn man mit einem Bogen, bestehend aus gespannten Pferdehaaren, über die Saiten streicht, wird in das System Schwingungsenergie hineingesteckt, weil der Bogen die Saiten ständig anreißt und diese so durch einen Rückkopplungsmechanismus ständig in Schwingung hält. Ein Teil der Energie wird auf den Klangkasten und somit in den Luftraum weitergeleitet. Beide werden ebenfalls zu Schwingungen angeregt, die sie wiederum an die Umgebung abgeben.

Die einzelnen Teile des Kastens und der Hals sind aus den unterschiedlichsten Holzarten zusammengebaut. Dabei sind manche Stellen der Holzdecke, des Bodens oder der Zargen nur zwei Millimeter dick. Dennoch übertragen die vier Saiten der Violine eine Zugkraft von etwa 250 Newton. Um diese Kräfte möglichst gut zu verteilen, entwickelten die Geigenbauer verschiedene Lösungen (z.B. ein angeleimter Stab unter der Decke), wobei sich bereits minimale Änderungen in der Dicke des Holzes oder Positionsänderungen von Einzelteilen im Klang auswirken.

Um die Ursache eines Violinenklanges näher zu untersuchen, muss man die schwingende Saite betrachten und analysieren.

Schwingende Saiten

In diesem Teil soll die Abhängigkeit der Schwingungsfrequenz von Länge und Spannung einer Saite untersucht werden. Die schwingende Saite gehört nach ihrer äußeren Form zu den linearen Schallgebern. Da es wichtig ist, dass der Schallgeber seine Schwingungen an das umgebende Medium überträgt, die Oberfläche einer Saite jedoch nur sehr gering ist, wird die Saite auf einen Resonanzkörper befestigt, dessen Oberfläche wesentlich größer ist als die der Saite. Der primäre Schallgeber wird dann den sekundären Schallgeber zu erzwungenen Schwingungen anregen und den Schall in verstärktem Maße an die Umgebung abgeben.

Damit die Saite Schwingungen, insbesondere transversale, ausführen kann, muss sie in einen Spannungszustand versetzt werden. Deshalb wird die Saite an ihren Endpunkten befestigt und über zwei Stege gespannt. Erregt man eine Saite durch Zupfen, Streichen, Anschlagen o.ä., vollführt der Schallgeber transversale Schwingungen um seine Ruhelage.

Ein Ton entsteht aber erst dann, wenn der Schallgeber die Schwingungen an die Umwelt abgibt. Man kann jedoch primär auch die schwingende Saite beobachten und nicht nur hören. So müssen sich also die Schwingungen einer Saite pro Sekunde über die Ruhelage hinaus mit einem geeigneten Gerät zählen lassen.

Orgel

Allgemeines

Kein anderes Musikinstrument kann sich in der Klangentfaltung, was Lautstärke, Klangfarbe, Dynamik und Klangvielfalt betrifft, mit der Orgel messen. Die vielen Generationen und langen Erfahrungen der Menschen ließen es zu, dass die Orgel ihre heutige Form bereits im siebzehnten Jahrhundert hatte, als viele der heutigen Instrumente noch gar nicht vorhanden oder im Anfangsstadium waren.

Durch einen Blasebalg werden Pfeifen mit Luft versorgt und so zum Tönen gebracht, wenn entsprechende Tasten auf dem Spieltisch gedrückt werden. Durch das Pfeifen- und Registerwerk können Pfeifen verschiedener Klangfarben gemischt werden, um so wieder neue Klänge zu erhalten. Die verwendeten Pfeifenarten kann man unterscheiden in Labialpfeifen und Zungenpfeifen, sowie in offene und gedackte Pfeifen.

Orgelpfeifen

Die Labialpfeife, auch Lippenpfeife genannt und mit der bekannten Blockflöte verwandt, hat im Inneren einen Keil - den Kern. Dieser reicht bis auf einen schmalen Spalt zum Unterlabium. Wenn nun Luft durch die Kernspalte strömt und auf das Oberlabium trifft, entwickelt sich durch das Wechselspiel zwischen diesem Luftstrom und der Luftsäule im Pfeifenkörper eine Schallschwingung. Damit ein gleichmäßiger Ton erzeugt werden kann, muss ein Blasebalg die Pfeife mit Luftdrücken zwischen 500 und 1000 Pascal versorgen.

Das Interessante an der Labialpfeife ist nun das Wechselspiel zwischen Luftstrom und Schallfeld. Der Luftstrom, der durch die Kernspalte gebildet wird, strömt als dünne Lamelle durch den Aufschnitt und wird dort durch die Schallschwingungen in der Luftsäule periodisch abgelenkt, so dass sie abwechselnd nach innen und außen ausschwingt. In der Lamelle setzt sich eine solche Auslenkung wellenförmig von der Kernspalte bis zum Oberlabium fort, so dass sie Schallschwingungen anregen kann. Sobald die Pfeife anspricht, bildet sich eine stabile stehende Welle in der Luftsäule des Körpers aus. Der Luftstrom liefert dann immer wieder die nötige Energie, um einen gleich bleibenden Ton aufrecht zu erhalten.

Zungenpfeifen sind zwar seltener bei Orgeln zu finden als Labialpfeifen, dennoch sollen sie hier kurz erläutert werden, da große Orgeln nicht auf das so genannte Schnarrwerk verzichten können. Diese Pfeifen geben einen schnarrenden Klang ab und sind nach dem Vorbild von einfachen Rohrblattinstrumenten, wie der Klarinette, gebaut, da der Ton durch ein schwingendes Metallblatt erzeugt wird.

Wenn Luft in die Eintrittsöffnung geblasen wird, schwingt die Zunge periodisch und schlägt gegen die Kehle, ein halboffenes Messingrohr, das gemeinsam mit dem Schallbecher einen Resonator bildet. Die Kehle setzt sich dabei bis zum Schallbecher fort.

Durch das Aufschlagen der Zunge entsteht eine asymmetrische Schwingungsform, die viele harmonische Oberschwingungen enthält. Diese Frequenzen sind jedoch von Dicke, Länge, Biegsamkeit und Masse des Metallblatts abhängig. Mit wachsender Länge erhöht sich die Grundfrequenz; je dünner die Zunge ist, um so mehr Harmonische können mitschwingen.

Klangfülle und Klangfarbe entstehen erst durch die Ausgestaltung des Bechers (Resonator), der durch verschiedene Formen und Abmessungen unterschiedliche Klänge hervorbringt.

Einen weiteren Unterschied beinhalten die offenen und gedackten Pfeifen (offenes Ende bzw. geschlossenes Ende) (vgl. Wellenverläufe im Rohr mit gleichen bzw. gemischten Randbedingungen). Da die Eintrittsöffnungen für die Luft immer offen sind, beschreiben diese Bedingungen die gegenüberliegende Seite der Eintrittsöffnung. Stehende Wellen, also Resonanzfälle, entstehen deshalb in unterschiedlicher Weise und machen so auch die Unterschiede bei den harmonischen Obertönen zwischen offener und gedackter Pfeife erkennbar. Im Inneren des Pfeifenkörpers schwingen die Luftteilchen - wie zuvor bereits gesagt - auf und ab. Die Schwingungsbäuche liegen dort, wo die Amplitude ihr Maximum erreicht, während bei Knoten die Amplitude minimal ist. Der Grundton bei offenen Pfeifen ist dadurch gekennzeichnet, dass die Länge der Pfeife mit dem Abstand zweier benachbarter Bäuche übereinstimmt, also die Hälfte der Wellenlänge. Beim ersten harmonischen Oberton, der die doppelte Frequenz des Grundtons besitzt, halbiert sich die Wellenlänge.

Also kommt die offene Pfeife bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz in Resonanz.

fn=(n+1)c/2l für Eigenfrequenz-Nr. n=0,1,2,3,... / c=Schallgeschwindigkeit / l=Säulenlänge

Gedackte Pfeifen brauchen wegen der Reflexion am geschlossenen Ende zwar nur halb so lang zu sein, um den selben Ton zum Klingen zu bringen, haben dafür aber nur bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz Resonanzfälle. Diese Zusammensetzung der Harmonischen entscheidet über den Klangcharakter einer Pfeife.

fn=(2n+1)c/4l für n=0,1,2,3,...

Für die offene Pfeife kann man für eine Zeitablenkung von 2 msec eine Frequenz f0 von ziemlich genau 350 Hz berechnen, während das Schallspektrum fünf deutliche Maxima hervorhebt - Eigenschwingungen. Da deren Frequenzen nur schwer aus dieser Grafik zu erkennen sind, wurden sie mit den theoretischen Werten verglichen, denn die Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f0=350 Hz:

1. Oberschwingung: f1=750 Hz

2. Oberschwingung: f2=1050 Hz

3. Oberschwingung: f3=1400 Hz

4. Oberschwingung: f4=1750 Hz

Nach Betrachtung des Spektralbildes konnten alle diese Frequenzen ziemlich genau erkannt werden.

Nach der Theorie müsste die Frequenz der gedackten Pfeife bei gleicher Länge um die Hälfte reduziert sein. Mit Hilfe der Zeitfunktion kommt man auf einen Wert f0=178,6 Hz. Dieser ist nach der Theorie gegenüber der Grundfrequenz der offenen Pfeife (350 Hz) um etwa zwei Prozente zu hoch, also nur minimal verschoben.

Das Schallspektrum bestätigt auch hier wieder die Theorie. So erkennt man nur zwei Oberschwingungen - bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz:

1. Oberschwingung: f1=535,8 Hz

2. Oberschwingung: f2=893 Hz

Sobald man jedoch mit Hilfe der oben angegebenen Formeln die Frequenzen berechnen möchte, kommt man zu einem Ergebnis mit einem hohen Fehlergrad. Das liegt daran, dass die angegebenen Formeln nicht für alle Fälle in Kraft treten, da die Bäuche der Bewegung nicht immer genau in der Öffnungsebene des Körpers liegen, sondern in die umgebene Luft hineinreichen können. Sie reichen um so mehr aus dem Körper heraus, je größer der Pfeifendurchmesser im Verhältnis zur Pfeifenlänge ist. Dies hat bereits Helmholtz gezeigt und trotzdem wird diesem Phänomen nur selten Rechnung getragen.

Da bei der verwendeten Pfeife der Durchmesser zur Länge von 42 cm relativ groß ist, trat dieser Fehler auf. Dennoch lässt sich die Theorie weitgehend anhand der Schallspektren bestätigen.

Um sich das Prinzip der Resonanzfälle in einer Pfeife besser vorstellen zu können, wird im nächsten Versuch ein Glasrohr mit geschlossenem Ende einen gedackten Pfeifenkörper ersetzen.

Kundtsches Rohr

Der Physiker Kundt demonstrierte erstmals im Jahre 1866 stehende Wellen mit Hilfe der Kundtschen Röhre, bei der sich Schwingungsknoten und Bäuche besonders gut erkennen lassen und damit die Wellenlängen von Schallwellen ermittelt werden können. Man beobachtet schwingendes Korkpulver in einem Glasrohr, in das mit einem Lautsprecher Schallwellen eingestrahlt werden. An den Bewegungsbäuchen wird das Pulver durch die rasche Bewegung der Luft weggeschleudert und sammelt sich an den Bewegungsknoten. Wenn die Röhre auf einer Seite geschlossen ist, können die Kundtschen Staubfiguren besser beobachtet werden, da die Schallwelle am geschlossenen Ende reflektiert wird und sich so leichter eine stehende Welle ausbildet.

Da sich die Verteilung der Bewegungszustände im Rohr nicht ändert, wird die an sich ein-gestrahlte fortlaufende Welle als stehende Welle bezeichnet.

Sobald das Rohr mit derjenigen Frequenz bestrahlt wird, in der seine Luftsäule selbst schwingungsfähig ist, werden die Schwingungen der Luftteilchen besonders heftig und die Bewegungszustände bilden sich immer abwechselnd und in gleichmäßigen Abständen aus. Der Abstand zwischen zwei Bewegungsknoten ergibt somit die halbe Schallwellenlänge.

Klavier

Das Klavier, dessen Töne durch Saiten entstehen, wird den Tasteninstrumenten zugeordnet, da die Saiten mit einer speziellen Mechanik über Tasten und Hämmer angeschlagen werden. Das Klavier entwickelte sich erst aus einfachen Saiteninstrumenten, zu dem später noch eine Tastatur nach dem Vorbild der Pfeifenorgeln hinzukam.

Erst im Jahr 1709 rüstete der italienische Cembalobauer Bartolommeo Cristofori zum ersten Mal ein Cembalo (Saiten werden angerissen) mit einer Hammertechnik aus. Durch diese Neuerung war zum ersten Mal ein dynamisches Spiel, d.h. leises und lautes Spiel, möglich. Das Instrument bekam den Namen "piano-forte". Nun wurden aber auch wesentlich stärkere Saiten mit höherer Spannung benötigt, wodurch nun ein stabileres Gehäuse nötig war.

Da die Hammermechanik von Cristofori jedoch sehr störanfällig war und das Instrument sich zunächst nicht durchsetzen konnte, versuchten viele Instrumentenbauer besonders die Hammertechnik zu verbessern. Dabei ist die Hammertechnik ein Zusammenwirken mehrerer Phasen: Schlägt man einen Klavierton an, so springt ein kleiner mit Filz bezogener Hammer gegen eine Gruppe von gleich klingenden Saiten (das Klavier hat meist drei oder zwei Saiten für einen Ton, um die Lautstärke zu erhöhen). Gleichzeitig hebt sich ein mit Filz bezogener Block, der Dämpfer, von den Saiten ab, so dass sie frei schwingen können. Beim Loslassen der Taste senkt sich der Dämpfer wieder und hält die schwingende Saite fest.

Dennoch zählt der 1855 von Henry Steinway eingeführte Stahlgussrahmen zu den bedeutendsten Neuerungen, weil man so dickere und stärkere gespannte Saiten im Klavier befestigen konnte und so noch größere Lautstärken möglich waren. Seitdem hat sich am Aufbau eines Klaviers kaum noch etwas geändert.

Das Tasteninstrument gehört zu den wenigen Instrumenten, deren höherfrequente Obertöne Anharmonische sind. Dies hat ihre Ursache in der Stimmung des Klaviers. Die meisten Musikinstrumente sind nach der diatonischen Tonleiter gestimmt. Die Intervalle dieser siebenstufigen Tonleiter, die aus fünf Ganz- und zwei Halbtonschritten besteht, haben die in bereits ermittelten Verhältnisse.

Das Klavier wird dagegen nach der temperierten Tonleiter gestimmt, wobei man die Oktave in 12 gleiche Intervalle einteilt, um alle Töne einer chromatischen Tonleiter zu erfassen. Dabei ist das Verhältnis zwischen zwei Halbtönen immer gleich 2 EE1/12 =1,05946. Daher weisen diese Instrumente außer den Oktaven keine reinen Intervalle auf, was das Zusammenspiel mit anderen Instrumenten manchmal schwierig machen kann. Außerdem weichen die Oberschwingungen in der Höhe auch mehr und mehr von Harmonischen ab. Doch diese anharmonischen Obertöne des Klaviers bewirken erst den besonderen Klang.

Die Saiten des Klaviers haben natürlich keine grundlegend andere Arbeitsweise, als dies schon im Kapitel über Saiteninstrumente geschildert wurde. Dennoch gibt es einige interessante und wichtige Aspekte, die die Eigenart des Klaviers ausmachen.

Die heutigen Klaviersaiten werden aus Stahldraht hergestellt. Damit die Saite der Basstöne sehr langsam schwingen können, wird eine zusätzliche Masse benötigt. Deshalb wird um den Stahldraht ein weicherer, meist aus Kupfer bestehender Draht einfach oder gar zweifach umsponnen.

Wenn nun die Saite ausgelenkt wird, beginnt sie zu schwingen, wobei diese Schwingung in der Realität aus mehreren Einzelschwingungen besteht.

Die idealisierte Saite besitzt keine Steifigkeit und ihre Obertöne sind deshalb Harmonische. Die Steifigkeit von Klaviersaiten ist jedoch relativ hoch, wodurch die Partialtöne von Harmonischen abweichen. Doch genau dieses Phänomen, wie die temperierte Stimmung, gibt dem Klavier die besondere "Wärme".

Holzblasinstrumente

Für viele Laien ist es unverständlich, wie beispielsweise ein Saxophon, das fast nur aus Metall besteht, oder eine Querflöte, die ausschließlich aus diesem Material gefertigt wird, zu den Holzblasinstrumenten gezählt werden müssen. Der Grund ist ganz einfach.

Der Ton eines jeden Holzblasinstrumentes wird mit einem Hilfsmittel aus Holz gebildet. Bei dem Saxophon ist dies ein Blatt aus Schilf am Mundstück und bei der Querflöte zählt die historische Entwicklung, denn zu Beginn stellte man Querflöten vollständig aus Holz her. Außerdem besitzen sie die typischen Merkmale von Holzblasinstrumenten: das Rohrblatt, die Innenbohrung und die seitlichen Grifflöcher.

Zunächst soll das Prinzip der Rohrblattinstrumente näher erläutert werden. Bei diesen Instrumenten entsteht der Ton mit Hilfe eines einfachen (Saxophon, Klarinette) oder eines doppelten (Oboe, Fagott) Rohrblattes. Die einfachen Rohrblätter funktionieren ähnlich, wie die Zunge einer Zungenpfeife. Das Rohrblatt dient gleichermaßen als Ventil, das sich periodisch öffnet und schließt und auf diese Weise den Luftstrom in Luftstöße verwandelt, die der Luftsäule ständig Schwingungsenergie zuführen. Die Schwingungsfrequenz ergibt sich aus der Frequenz der angeregten Druckschwankungen in der Luftsäule. Die Tonhöhe wird dabei fast ausschließlich von der Innenbohrung bestimmt. Das Rohrblatt hat darauf wenig Einfluss, da es im Gegensatz zur Zunge der Zungenpfeife immer die selbe Länge hat. Die Dicke und Masse des Blattes ist dabei nur für den Musiker wichtig, da er so über unterschiedliche Klangcharakter (offen, dumpf, klassisch, jazzig) entscheiden kann. Die einfachen Rohrblätter werden an einem Mundstück aus Kautschuk oder Metall befestigt, während die Doppelrohrblätter, bei denen die Luft durch einen schmalen Schlitz zwischen den beiden Rohrblattzungen geblasen wird, direkt in die Luftsäule gesteckt werden.

Ein völlig anderer Ventilmechanismus liegt den Flöten zu Grunde. Er ist mit dem Mechanismus der Labialpfeife vergleichbar. Ein dünner Luftstrahl trifft auf die Anblasöffnung einer Kante. Die Schwingungen werden nun durch Änderung der Luftgeschwindigkeit am oberen Ende der Innenbohrung bestimmt. Die schwingende Luftsäule lenkt das Luftblatt abwechselnd in die Bohrung hinein und wieder heraus. Dabei richtet sich die Frequenz dieses periodischen Wechsels nach den Bohrungsmaßen und der Lage der Grifflöcher.

Den Resonanzfrequenzen der Luftsäulen und ihren entsprechenden Wellenlängen liegt mal wieder die stehende Welle zu Grunde, d.h. sie sind abhängig von der Länge der Bohrung. Hier ist jedoch zusätzlich noch die Form der Innenbohrung von größter Bedeutung.

Bei einer konischen Bohrung mit einem druckgesteuerten Rohrblatt am engeren Ende (Saxophon, Oboe), aber auch bei einer zylindrischen Bohrung mit offenem Ende (Flöte), die über ein geschwindigkeitsempfindliches Luftblatt angeblasen wird, entspricht bei der Grundschwingung die Wellenlänge der doppelten Bohrungslänge. Vergleichbar ist dies mit einer stehenden Welle in einem Rohr mit gleichen Randbedingungen. Die Obertöne sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz, also Harmonische.

Wird in einem zylindrischen Rohr (Klarinette) mit einem druckgesteuerten Rohrblatt der Grundton angeregt, dann entspricht die Wellenlänge dem vierfachen der Bohrungslänge - vergleichbar mit einem Rohr mit gemischten Randbedingungen. Daher sind die Obertöne ungeradzahlige Vielfache der Grundmode.

Durch viele seitliche Grifflöcher am Instrument kann die Tonhöhe variiert werden, weil so die wirksame Länge heruntergesetzt wird und so gewissermaßen neue Grundschwingungen entwickelt werden können. Wie sich die wirksame Länge beim Öffnen von Löchern ändert, kann nur kurz beschrieben werden.

Ist das Loch genauso groß wie die Innenbohrung, dann erhält man dieselbe Tonhöhe wie bei einem Rohr, das bis zu diesem Loch reicht. Je kleiner die Löcher, desto geringer der Unterschied zwischen tatsächlicher und wirksamer Rohrlänge. Um jedoch noch flexibler zu sein, werden meist kleinere Löcher verwendet, die aber über eine meist recht komplizierte Mechanik weitere Tonlöcher öffnet bzw. schließt.

Wenn alle Tonlöcher geschlossen sind, klingt der tiefste Ton, weil die Rohrlänge maximal ist. Werden nun die Grifflöcher, die vom Mundstück am weitesten entfernt sind, langsam nacheinander geöffnet, so wird der Ton immer höher. Hinzu kommen noch Überblastechniken, die jeden Ton in ihre nächsthöhere Eigenfrequenz versetzen. Dies ist bei einer Flöte oder einer Oboe eine Oktave und bei der Klarinette gar eine Duodezime (Oktave + Quinte).

E. G. Richardson vom University College London entwickelte zwar um 1930 mit Hilfe elektrischer Ersatzschaltungen ein Modell, welches die Berechnung der Auswirkung eines einzelnen offenen Loches ermöglichte, weil dies immer noch das größte Problem der Instrumentenbauer war. Seine Arbeit blieb jedoch weitgehend ohne Bedeutung, weil seine Hilfe trotz der Genauigkeit, auf tatsächliche Musikinstrumente angewandt, zu umständlich war. Und die Instrumentenbauer konnten auch ohne theoretische Hilfe, aber mit über Generationen weitergegebenen und weiterentwickelten Methoden ausgezeichnete Musikinstrumente bauen.

Blechblasinstrumente

Blechblasinstrumente sind alle gleich aufgebaut: sie haben ein kesselförmiges Mundstück, ein konisches Mundrohr, ein Hauptrohr und einen Schallbecher. Mit Hilfe des Hauptrohres kann man zwei Gruppen unterscheiden. Ein Hauptrohr mit zylindrischer Bohrung haben etwa Trompeten und Posaunen, während Flügelhörner, Tenorhörner und Tuben über eine konische Innenbohrung verfügen. Die Schallbecher der Instrumente mit zylindrischer Bohrung werden schnell über eine kurze Strecke erweitert, während die anderen eine fast gleichmäßige konische Bohrung bis zum Becher haben.

Der Schallbecher oder das Horn eines Blechblasinstrumentes hat eine ganz besondere Aufgabe. Das Horn ist nämlich für die Tonhöhe und die Klangfarbe wichtig und muss genügend Energie "speichern", um stehende Wellen mit exakt definierten Frequenzen aufbauen zu können. Dabei bedient man sich heute der Horngleichung des amerikanischen Physikers A. G. Webster, von der abhängt, wie viel Schallenergie das Horn verlässt und welcher Anteil reflektiert wird und so stehende Wellen ausbilden kann. Die Anwendung dieser Hornfunktion, die annähernd dem Kehrwert des Produkts aus innerem und äußeren Radius entspricht, kann jedoch mit meinen Mitteln nicht näher untersucht werden und wird deshalb auch nicht weiter ausgeführt.

Bei den Blechbläsern haben die Lippen des Bläsers eine ähnliche Funktion wie das Blatt bei einem Holzblasinstrument. Die Lippen wirken als Ventil, welches sich abwechselnd öffnet und schließt. Dies wird durch die Druckschwankungen im Mundstück reguliert, die zusammen mit dem gleichmäßigen Druck aus der Lunge auf die Lippen einwirken. Dabei ist der Einfluss von Mund- und Rachenraum nicht zu vernachlässigen. Der Bereich vor und hinter den Lippen beeinflusst sich nämlich gegenseitig. Deshalb wird heute, nicht nur bei Blechbläsern, auf eine besondere Beherrschung der Zunge und der Halsmuskulatur hingewiesen und gelehrt. So kann ein Ton ohne weitere Hilfsmittel um einen Ganzton nach oben oder unten "verschoben" werden.

Aber zurück zur Tonentstehung. Die periodischen Druckschwankungen, die im Mundstück auftreten, erregen eine Druckwelle, die zuletzt den ausladenden Schallbecher erreicht. Während dieses Vorganges verliert die Welle durch Reibung und Wärmeableitung Energie. An der Erweiterung des Schallbechers wird ein Großteil der Schallwelle reflektiert und läuft zum Mundstück zurück. Der Rest der Welle wird in die Umgebung abgestrahlt.

Die reflektierte und immer wieder neu angeregte Schallwellen bilden zusammen stehende Wellen.

Anhand des Spektralbildes eines Signalhornes, das aus einem mehrfach gewundenen Messingrohres ohne Ventile besteht und etwa die Länge 145 cm hat, konnte das Verhalten der Oberfrequenzen, die hier als Naturtöne bezeichnet werden, untersucht werden. Es wurde festgestellt, dass diese ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz (hier etwa 350 Hz) sind. Mit dem Vergleich der Formeln für stehende Wellen in Rohren mit gleichen Randbedingungen

fn=(n+1)c/2l für Eigenfrequenz-Nr. n=0,1,2,3,... / c=Schallgeschwindigkeit / l=Säulenlänge

erhält man zur absoluten Grundfrequenz von 117 Hz (die mir aber wegen spielerischen Mängeln nicht gelingt), die das Instrument mit dieser Länge erlaubt, eine 2. Oberschwingung von 351,7 Hz. Damit ist diese Formel bestätigt worden und zeigt, dass die stehende Welle bei Blechblasinstrumenten bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz zustande kommen. Die unterschiedlichen Bohrungen des Mittelstücks werden nämlich durch die dementsprechend anders verlaufenden Schallbecher wieder auf eine gleiche Ausbildung der stehenden Welle gebracht.

Heute haben die Instrumente entweder Ventile oder Züge, mit denen die Länge des Instrumentes verlängert wird und so ein neuer Grundton mit neuen Eigenfrequenzen gebildet wird. Die meisten Blechblasinstrumente haben drei Ventile. Ohne ein gedrücktes Ventil sind nur die Eigenfrequenzen oder Naturtöne möglich. Wird das erste Ventil gedrückt, so wird die Luft zusätzlich in eine weitere Röhre gelenkt, d.h. die Instrumentenlänge wird vergrößert. Das Instrument spielt nun einen Ton, der um eine große Sekunde unter dem Naturton liegt, welcher bei gleichem Lippendruck und ohne Ventil geblasen worden wäre. Das zweites Ventil erniedrigt den Ton um eine kleine Sekunde und das dritte Ventil um eine kleine Terz. Bei einigen Instrumenten des tieferen Registers gibt es noch ein viertes Ventil, welches den Ton um eine Quart tiefer erklingen lässt. Durch Kombination dieser drei bzw. vier Ventile lassen sich alle chromatischen Töne mehrerer Tonleitern spielen. Die Länge der Posaune und damit die Töne können gleichbedeutend mit ihrem Zug variiert werden.

Man erkennt auch bei dieser Instrumentengruppe wieder den Zusammenhang zur stehenden Welle und der Abhängigkeit von Länge, Bohrung und Horn des Instrumentes für die Eigenfrequenzen.

Schlaginstrumente

Jeder kennt das Schlagzeug mit Snare-Drum, Bass-Drum, Hi-hat und Toms aus der Unterhaltungsmusik. Aber auch die unter dem Begriff "Percussions" zusammengefassten Instrumente gehören zu den Schlaginstrumenten, da sie durch Anschlagen mit dünnen Holzsticks oder dicken Schlegeln zu meist unbestimmten Tönen angeregt werden (z.B. Woodblocks, Tamtam, Tamburin, Bongos usw.). Hier sollen jedoch besonders die Trommeln und ihre Funktionsweisen aufgezeigt werden.

Bei Trommeln (Snare-Drum, Bass-Drum, Toms usw.) werden gespannte Trommelfelle als Membran verwendet, die als einfachste flächenhafte Schallgeber wirken. Um das Prinzip der Membran zu erklären, kann man sie mit einer Saite vergleichen.

Die Membran besitzt jedoch nicht nur die Dimension der Länge, sondern zusätzlich noch die der Breite. Die Spannung ist bei beiden die rückführende Kraft, die das System in Schwingung versetzt, nachdem es von einem darauf ausgeübten Druck verformt worden ist. Die kreisförmige Membran wird entlang ihres Umfangs gespannt und kann so auch gestimmt werden. Ein großer Unterschied zwischen Saite und Membran besteht jedoch darin, dass die Obertöne einer Saite Harmonische sind, die der Membran dagegen Anharmonische.

Die Pauke löst im Gegensatz zu anderen Trommelarten ein Tonhöhenempfinden aus, was sie zum wichtigsten Schlaginstrument im Orchester macht. Sie kann selbst auch über einen Bereich von mehr als einer Oktave gestimmt werden, was durch Ändern der Trommelfellspannung geschieht. Verdoppelt man die Membranspannung, so erhöht sich ihre Frequenz um eine halbe Oktave. Um während des Spielens flexibel zu sein, haben moderne Pauken pedalbetriebene Spannvorrichtungen.

Es stellt sich nun die Frage, wie man die unharmonischen Verhältnisse einer Membran bei der Pauke auf harmonische Verhältnisse bringen kann, um ein Tonhöhenempfinden auszulösen.

Den Hauptanteil dabei hat wohl die Belastung der Membran durch die Atmosphäre. Die idealisierte Membran schwingt in einem idealisierten Vakuum. In Wirklichkeit schwingt das Trommelfell jedoch unter der Last der Luftsäule. Die so in Bewegung gesetzte Luftmasse wogt hin und her und setzt die Oberfrequenzen herab. Zwei weitere Faktoren sind noch die im Kessel eingeschlossene Luft, die ihre eigenen Resonanzen hat und mit den Frequenzen des Trommelfells in Wechselwirkung treten kann, sowie die Steifigkeit der Membran, d.h. ein Widerstand gegen Verformung führt zur Erhöhung der Frequenzen der oberen Harmonischen.

Um das ungewöhnliche, idealisierte Verhältnis der Grundfrequenz zu ihren Oberfrequenzen zu zeigen, werden nun keine Membrane, sondern Platten verwendet. Platten haben infolge ihrer Dicke so viel Biegungselastizität, dass sie im Gegensatz zu Membranen ohne äußere Kräfte elastische Schwingungen ausführen können.

Auch bei Membranen und Platten gibt es wie bei der schwingenden Saite Knoten, an denen keine Schwingungen vorliegen, und Bäuche, an denen das Material schwingt, wobei die Knoten bei kreisrunden Platten als konzentrische Kreise um den Mittelpunkt, sowie als Knotendurchmesser sichtbar werden. Bei quadratischen Platten erhält man gerade Linien oder Kurven.

Chladnische Klangfiguren

1787 veröffentlichte der Doktor der Philosophie und der Rechte zu Wittenberg, Ernst Florens Friedrich Chladni, die kleine Schrift "Entdeckungen über die Theorie des Klanges", in der er Klangfiguren darstellt und auch beschreibt, wie man sie erzeugen kann. Diese Klangfiguren verschieden geformter Platten sind nichts anderes als die oben erwähnten Knotenlinien. Auch in weiteren Veröffentlichungen stellte er insgesamt über hundert Muster der Klangfiguren dar und gab die dazugehörigen Tonverhältnisse bezogen auf die Grundschwingung an.

Erzeugt wurden die Muster, indem man eine oder mehrere Stellen mit den Fingern hält und am Rand der Scheibe mit einem Violinbogen entlang streicht. Um die Knotenlinien auch wirklich zu sehen, wurden die Platten vorher mit etwas feinem Sand bestreut, der dann von den schwingenden Teilen weggeworfen wurde und sich an den Stellen sammelte, wo keine Schwingung auftrat - den Knotenlinien.

Die Frequenz der betreffenden Schwingung bestimmte Chladni mittels seines Gehörs, wobei dies besonders schwierig war, da sich seine Untersuchungen über fünf Oktaven verteilten.

Die Menschen waren von den absonderlichen Mustern so sehr fasziniert, dass Chladni seinen Lebensunterhalt mit dem Auftreten als Lehrer und Referent über seine Figuren verdienen konnte und selbst Napoleon sagte: "Dieser Mann lässt die Töne sehen."

Es schienen Grenzen überwunden, die dem Menschen durch seine Sinnesorgane gesetzt waren und nun wurden Formeln gesucht, die die Figuren erklären konnten. Doch viele große Namen scheiterten, bis Gustav Kirchhoff 1850 die Lösung für die kreisförmigen Scheiben hatte. Für die quadratische Scheibe lieferte erst der Physiker Walter Ritz im Jahre 1909 in annähernder Weise die Lösung.

Hier wird jedoch eine etwas modernisierte Form des Experiments betrachtet. Eine dünne, schwarze Metallplatte (quadratisch und kreisförmig) wird in der Mitte mit einer Stativstange befestigt und mit leichtem Sand bedeckt. Ein Lautsprecher, der den Violinbogen ersetzt, wird nur wenige Millimeter unter der waagerechten Platte justiert und an einen Tonfrequenzgenerator angeschlossen. Dann wird die Frequenz langsam erhöht bis die Sandkörner starke Bewegungen ausführen. Dies tritt genau dann ein, wenn die Frequenz der ausgesendeten Schallwellen einer Eigenfrequenz der Platte entspricht und die Resonanz die Platte zu Schwingungen anregt.

Bei den entstehenden Klangfiguren ist es außerdem noch wichtig, wo die Platte befestigt ist und an welcher Stelle die Tonquelle sitzt, da die Eigenschwingungen durch die verschiedenen Positionen mal leichter oder mal schwieriger zu finden sind.

Zunächst werden jedoch kreisrunde Metallplatten untersucht, um den Zusammenhang zu Trommeln zu wahren. Bei einem ausgebildeten Muster werden diese photographiert.

Jeder Klangfigur entspricht ein bestimmter Ton; seine Frequenz ist um so höher, je komplizierter die Figur. Die Frequenz ist der Plattendicke direkt proportional und steigt bei kreisförmigen Platten umgekehrt mit dem Quadrat des Plattenradius. Außerdem ist sie von der Dichte D, vom Elastizitätsmodul E und von dem Querkontraktionskoeffizienten M abhängig.

Man merkt, dass die theoretische Behandlung der Plattenschwingungen nur mit größten mathematischen Hilfsmitteln zu bewältigen ist. Denn auch heute noch sind die Biegeschwingungen für quadratische Platten noch nicht exakt theoretisch zu ermitteln.

Chladni entwickelte für seine Muster eine eigene Nomenklatur, die es ihm erlaubte, jede verschiedene Klangfigur durch Zahlenkombinationen darzustellen. Für kreisförmige Platten ist dies sehr einfach, da er als erste Ziffer die Anzahl der Durchmesser und nach einem Schrägstrich die Anzahl der Knotenkreise notierte. Die Indizierung der Klangfiguren der quadratischen Platte ist jedoch wesentlich aufwendiger und soll deshalb vernachlässigt werden.

Zusammenfassung

Zum Abschluss dieser Facharbeit möchte ich alle Ergebnisse noch einmal kurz zusammenfassen:

Schallwellen werden durch elastische Schwingungen fester oder gasförmiger Körper an die umgebende Luft übertragen und so diese zu erzwungenen Schwingungen angeregt, welche als Ton wahrnehmbar sind. Die Eigenfrequenzen einer Röhre mit gleichen Randbedingungen können nach der Formel
fn=(n+1)c/2l mit n=0,1,2,3... (Ordnungszahl der Eigenschwingungen), der Schallgeschwindigkeit c (in Luft ca. 340m/sec) und der Säulenlänge l berechnet werden. Die Eigenfrequenzen einer Röhre mit gemischten Randbedingungen können unter den gleichen Bedingungen wie 2 nach der Formel
fn=(2n+1)c/4l berechnet werden.
(Bei Punkt 2 und 3 müssen Abstriche gemacht werden, da sie die Wirklichkeit nicht exakt wiedergeben. Je größer der Durchmesser im Verhältnis zur Länge der Röhre ist, um so mehr reichen die Schwingungsbäuche aus den Körpern heraus.) Die Verhältnisse der Töne einer Tonleiter zu ihrem Grundton sind etwa:
Prime: 1 / 1
Große Sekunde: 8 / 9
Große Terz: 4 / 5
Quarte: 3 / 4
Quinte: 2 / 3
Große Sexte: 3 / 5
Große Septime: 8 / 15
Oktave: 1 / 2 Die exakte Schallgeschwindigkeit in Luft bei einer Temperatur von 18°C beträgt 343 m/sec. Da das Klavier nicht diatonisch sondern temperiert gestimmt ist, d.h. jeder Halbton zum nächsten Halbton das Verhältnis 2 EE1/12 hat, weichen die Oberschwingungen in der Höhe immer weiter von ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz ab. Sie werden deshalb Anharmonische genannt. Holzblasinstrumente mit konischer Innenbohrung und einem druckgesteuerten Rohrblatt am engeren Ende oder mit einer zylindrischen Bohrung mit offenem Ende erhalten ihre Eigenschwingungen nach den Gesetzen der Röhren mit gleichen Randbedingungen. Holzblasinstrumente mit zylindrischer Innenbohrung und einem druckgesteuerten Rohrblatt erhalten ihre Eigenschwingungen nach den Gesetzen der Röhren mit gemischten Randbedingungen. Bei Blechblasinstrumenten werden die Eigenfrequenzen nach den Gesetzen der Röhren mit gleichen Randbedingungen gebildet. Die Knotenlinien bei Membranen und Platten sind als Kreise oder Linien erkennbar, an denen keine Schwingung stattfindet. Die Eigenfrequenzen von normalen Membranen und Platten sind Anharmonische, weil die Luftsäule auf den Schallgeber wirkt.

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